高中数学复习专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）.docxVIP

专题26数列的概念6题型分类

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照确定的顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列{an}的前n项和

把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项间的大小关系

递增数列

an＋1an

其中n∈N*

递减数列

an＋1an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

5．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．

（一）

Sn与an的关系问题的求解思路

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

题型1：由an与Sn的关系求通项公式

1-1．（2024·浙江）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝，S5＝．

1-2．（2024·北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．

1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，，且

，则数列的通项公式为.

1-4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）数列满足，（，），则.

（二）

由数列的递推关系求通项公式

(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．

(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．

题型2：累加法

2-1．（2024·安徽安庆·一模）数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是.

2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的最小值为

题型3：累乘法

3-1．（2024高三·全国·专题练习）若，则通项公式.

3-2．（2024高三·全国·专题练习）在数列{an}中，，则数列{an}的通项公式an＝.

3-3．（2024高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为.

（三）

数列的性质

(1)解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

题型4：数列的单调性

4-1．（2024·北京·二模）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式.

4-2．（2024高一下·上海闵行·期末）已知数列的前项和为，，若为递减数列，则实数的取值范围是.

4-3．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列的通项公式为（）.写出一个能使数列是递增数列的实数b的值.（写出一个满足条件的即可）

4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）数列满足：.若是递增数列，则实数的取值范围是.

题型5：数列的周期性

5-1．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（????）

A．???????????? B．???????????? C．???????????? D．

5-2．（2024·北京通州·三模）数列中，，则（????）

A． B． C．2 D．4

5-3．（2024高三·全国·对口高