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2024学年第一学期初三年级学业质量调研

数学试卷

（测试时间：100分钟，满分：150分）

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

3．本次考试不可以使用科学计算器．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列运动中，能改变图形大小的是（）

A.平移 B.旋转 C.翻折 D.放缩

2.已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（）

A. B. C. D.

3.二次函数图象的顶点坐标是（）

A. B. C. D.

4.如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（）

A. B. C. D.

5.形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（）

A.点是边的黄金分割点 B.点是边的中点

C.是边上的高 D.是的平分线

6.定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（）

A. B. C. D.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.如果，那么的值为_____．

8.已知，那么_____．

9.已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为_____．

10.抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么_____0．（填“”或“”）

11.在中，，，，那么直角边长为_____．

12.圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的_____函数．

13.已知点和是抛物线上的两点，那么的值是_____．

14.用含特殊锐角的三角比的式子表示：_____．

15.某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域）

16.如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为_____．

17.如图，点、分别是线段和的中点，、交于点，且，，，那么长是_____．

18.在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为_____．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.计算：．

20.已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，．

（1）_____，_____（结果用含向量、的式子表示）

（2）由（1）可知与_____向量．

（3）如果，那么_____．

21.如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，．

（1）求点、坐标；

（2）求值；

（3）求的值．

22.如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号）

（1）当厘米，

ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离．

ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米．

（2）设度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____．

23.如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

24.已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式；

（3）在（2）条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围．

25.如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上．

（1）如图2，当点与点重合时，求证：；

（2）当点在线段的延长线上时，联结，交于点．

ⅰ）当直线经过的重