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3.用描述函数法研究非线性控制系统解:(续)01G0(j?)与-1/N(A)相交于P点,经分析P点为稳定的自振点.令G0(j?)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率?p=4.2rad/s.令G0(j?)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m021N(A)G0(j?)oImRe???1.0P???3.用描述函数法研究非线性控制系统1。基本概念4。奇点和极限环2。相平面图的绘制3。由相平面图求系统的过渡过程01020403本节内容第三节相平面法1.基本概念非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间下的应用，它是一种用图解法求解二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清晰图象。二阶系统的微分方程表达a1，a0为常数时表达线性定常系统。a1，a0不为常数时表达非线性系统。1.基本概念二阶系统的状态方程表达令x1=x，x2=x1,有.相平面(状态平面,x--x平面).相平面图(相轨迹构成的图)相平面法:相平面图的绘制和分析特点:?只限于二阶线性或非线性系统 ?可用于严重非线性场合(描述函数不够用)?可用于非周期信号输入x1x22.相平面图的绘制.常用三种方法:解析法,等倾线法,?法.1)解析法当系统微分方程较简单时,可推导出相轨迹方程,据相轨迹方程可绘制相平面图.例如:经积分推导可得相轨迹方程为一圆方程,据此可绘制相轨迹.y?n.y2.相平面图的绘制等倾线法不用求解微分方程，适用于非线性特性可用数学式表达的系统.设2.相平面图的绘制对于除平衡点的任一点，和为确定值。在平衡点，=0为不定值。速度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点。所以可设表示相轨迹的斜率。表示斜率相等。被称为等倾线方程2.相平面图的绘制等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾线方程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从初始状态|t=0出发的相轨迹曲线。例9。2试用等倾线法绘制二阶线性系统的相平面图。解：2.相平面图的绘制根据等倾线方程令?为若干具体数值，可得等倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD，…。?=-1?=-1.4?=-2.5?=2?=-(1.4+1)/2=-1.2?=-0.4?=-1xx.ABC2.相平面图的绘制例9。3试用等倾线法绘制二阶非线性系统的相平面图。解：xx0103022.相平面图的绘制当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这时用?法更好。在?法中，相轨迹是圆心沿x轴滑动的一系列圆弧的连续线。010203043)?法设，要求单值并连续。变形为令选?使?值在选定小x，x范围内，不大不小，可看作常量。当在P1(x1,x1)点附近,2.相平面图的绘制C为积分常数,可求得2.相平面图的绘制这是一个圆方程,圆心在(?1,0),半径为进而可推得2.相平面图的绘制以x为横轴,以x/?为纵轴,P1点附近的相轨迹可用小段圆弧表示.为得到?1可用逐次逼近法..xx/?.P1(?1,0)例9.4已知求起始于A1(1,0)点的相轨迹.2.相平面图的绘制设步距为0.2.先取?1’=0,以圆心(0,0),半径1,过A1点画圆弧,交=-0.2于A2’.A2’的坐标为(-0.2,?(1-0.22)).取A2’和A1的坐标平均值(xm,xm)代入求?1解:取?=1,按有2.相平面图的绘制以圆心(0.12,0),半径1-0.12,过A1点再画圆弧,交=-0.2于A2.以同样方法可得A3,A4,…,10.120A1A2A’2A3A4xX.3.由相平面图求系统的过