证明阶是素数的群是循环群.pdf

...

.

1．证明：阶是素数的群是循环群。

分析：证明一个群是循环群的思路有三种：

（1）利用循环群的定义证明群中每一个元都能表示为群中同一个元

的方幂；

（2）利用同构的思想，先构造一个恰当的循环群，再证明它和该群

同构；

（3）利用本节的知识，先在群中生成一个循环子群，若能证明子群

就是该群即可；

实际上，在上面的几种思路中，（3）是最佳选择。

证明：任取阶为素数的群G

设G的阶为素数p

p1

aG,ae

令H(a)

HG

Hm(m1)

设的阶为

mp

mp

HG

G为循环群。

2．证明，阶是pmpp

的群（是素数）一定包含一个阶是的子群。

p

分析：若能找出群的子群，则可以观察是否有个元素的子群。如何找

呢，由于题设与第一题的题设有类似的条件，可借用第一题的思路。

证明：任取阶为pm的群G

p是素数

pm1

.资

料....

...

.

aG,ae

HaHn

令(),#



HG,nZ,Z1

又npm

npi1,2,,mi

令(pi1)

Ha

1

则(pi1)

Ha即为所求

1

ababbaam

3．假定和是一个群G的两个元，并且。又假定的阶是，

bn(m,n)1abmn

的阶是，并且。证明：的阶是。

分析：本题的目标是证明某个正整数是某个元的阶，根据元的阶的定义，

可分为两步：一、证明元的该次幂等于单位元；二、证明该次幂是使的

该元等于单位元的最小正方幂。

ambn

证明：的阶是，的阶是

mn

ae,be

又abba

mnmnmnmn