新高考数学一轮复习重难点练习14数列通项公式的求法（递推法、做差法）解析版.doc

重难点14数列通项公式的求法（递推法、做差法）

命题规律与备考策略

命题规律与备考策略

数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．

题型方法考法1：递推法

题型方法

一．解答题（共21小题）

1．（2023?五华区校级模拟）设正项数列的前项和为，且，当时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，且，求数列的通项公式．

【分析】（1）由已知可得：当时，，即，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；

（2）由（1）可得：，则当时，，然后结合错位相减法求解即可．

【解答】解：（1）已知正项数列的前项和为，且，

当时，，

，

，

即，

又，

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

则，

则，

则，，

当时，满足上式，

即；

（2）由（1）可得：，

则当时，，①

则，②

由①②得：，

即，

化简得：，

当时，也满足上式，

所以数列的通项公式为．

【点评】本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了错位相减法，属中档题．

2．（2023?鼓楼区校级模拟）记为数列的前项和，已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足且，的前项和为，证明：．

【分析】（1）由，可得，则数列是首项与公差都是2的等差数列，即可得出答案；

（2）利用累加法求出通项公式，再利用裂项相消法求出，即可证明结论．

【解答】解：（1），

，解得，

当时，，

两式相减可得，

，

又，则，

故数列是首项与公差都是2的等差数列，

；

（2）证明：由（1）得，

又，

则

，

，

，

，

．

【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

3．（2023?南关区校级模拟）数列，满足，，．

（1）求证：是常数列；

（2）设，，求的最大项．

【分析】（1）由已知，容易证得，从而结论成立；

（2）根据已知条件，可判断数列的单调性，从而找到最大项为．

【解答】解：（1），

，，

，，

，

所以，数列是常数列．

（2），，．

由（1）知：，

，又，．

又，．又，．

，即，

所以，数列是递减数列．

故数列的最大项为．

【点评】本题考查了数列中的递推关系及数列的单调性的判定，属中档题．

4．（2023?贾汪区校级模拟）记为数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）令，记的前项和为，证明：．

【分析】（1）由已知可得，即，然后求解即可；

（2）由（1）可得，然后结合错位相减法求数列的前项和即可．

【解答】（1）解：已知为数列的前项和，，①

则，②

由②①可得：，，

即，

即，，

又满足上式，

即；

（2）证明：由（1）可得，

记的前项和为，

则，③

则，④

由③④可得：，

则，

即．

【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了错位相减法求数列的前项和，属中档题．

5．（2023?沙坪坝区校级模拟）已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用数列的递推式可得，即，验证时成立，即可得出答案；

（2）由（1）得，不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，令，利用数列的函数特性可得是递增数列，即可得出答案．

【解答】解：（1）①，

当时，，解得；

当时，②，

由①②得，即，

故，

又当时，符合上式，

故；

（2）由（1）得，不等式对恒成立，转化为对恒成立，即对恒成立，

令，则，

故是递增数列，

（1），即，

故实数的取值范围为，．

【点评】本题考查数列与不等式的综合、恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

6．（2023?濠江区校级三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”．

（1）若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；

（2）若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；

（3）设数列是公比为的等比数列．若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．

【分析】根据紧密数列的定义，分别在（1）、（2）条件下去判定各个数列是否满足，第（3）问则反过来根据定义求出的范围，注意讨论．

【解答】解：（1）已知，

则，

，

不是“紧密数列”．

（2）数列为“紧密“数列，理由如下：

由可得：

当时，，

当时，，

又满足，

所以，

所以对任意，

且随着的增大，递减，故，

所以，

因此数列为“紧密”数列；

（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，

当时，有，，

所以有，满足题意；

当时，，，

因为为“紧密“数列，

所以．即或，

当时，．

，

所以，满足为“紧密”数列；

当时，，不满