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总复习2

三、多元函数积分学基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并会计算；会用重积分、线积分、面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

重点与难点：重积分、线积分、面积分的计算，格林公式，高斯公式。题型：1.各类积分的计算2.用格林公式计算曲线积分3.用高斯公式计算曲面积分4.各类积分的应用（弧长、面积、体积、质量、重心、转动惯量、力）5.积分与路径无关、全微分求积

1.计算其中是闭区域3.计算2.计算4.计算是由,其中D所围成的在第一象限内的闭区域。5.在半径为的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应是多少？

6.计算,其中是由曲面与平面和所围成的闭区域。的公共部分.其中是两个球和7.8.计算,其中是由曲面与所围成的闭区域.9.计算,其中是由不等式所确定的闭区域。

1其中是闭区域解分部积分法

2计算解.积分域如图.

3计算于是也可由区域的对称性直接得到结果为0解：D?{(x?y)|?1?x?0??x?1?y?x?1}?{(x?y)|0?x?1?x?1?y??x?1}?

4是由解：在极坐标下?所以,其中D所围成的在第一象限内的闭区域。

5在半径为的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应是多少？解建立如图所示的直角坐标系。设矩形的另一边长为则知由图形的对称性令得

6、计算,其中是由曲面与平面和解：积分区域可表示为??{(x?y?z)|0?z?xy?0?y?x?0?x?1}?于是所围成的闭区域。

的公共部分.解当时，当时，截面圆周在上球面截面圆周在下球面用柱面坐标用截面法：7其中是两个球和

8计算,其中是由曲面与解：在柱面坐标下积分区域?可表示为0???2??0?r?2??于是所围成的闭区域.

9、计算,其中是由不等式解：在球面坐标下积分区域?可表示为于是所确定的闭区域。

三、多元函数积分学基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并会计算；会用重积分、线积分、面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

其中为曲线2.，其中L为圆周及x轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.3.，其中L是在圆周上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧.其中为圆周按逆时针方向绕行。5.证明:在整个平面除去的负半轴及原点的开区域内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数.

6.，其中为锥面被柱面所截得的有限部分。，其中是球面的下半部分的下侧；8.其中为锥面的外侧.其中为圆周9.计算曲线积分：若从x轴看去，这圆周是取逆时针的方向。

其中为曲线解1、

2、，其中L为圆周解L?L1?L2?其中L1?x?a?acost?y?asint?t从0变到??L2?x?x?y?0?x从0变到2a?因此及x轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）

3、，其中L是在圆周解P?x2?y?Q??x?sin2y??由格林公式有其中L、AB、BO及D如图所示?故BL上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧.

其中为圆周按逆时