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飞机精确定位问题

摘要

飞机在飞行过程中，地面各个监控台通过VOR〔高频多向导航设备〕和DME〔距离测量装置〕向飞机发送当前位置的信息，帮助飞机较精确地确定其所处的位置。确保飞机与地面间的联系，保证飞机的飞行平安。

本文运用非线性规划的方法，在飞机和这些设备在同一平面上的假设下，利用题中所给的数据，对数据进行标准化，统一量纲，建立了非线性规划的模型，并对数据数据进行了标准化的处理，使模型得到的结果更加精确.利用最小二乘法，利用LINGO最优化求解得出最小误差为2.650275下，得出飞机坐标为〔981.90810,729.9403〕的结果。

关键词：飞机定位数据标准化非线性规划模型

1问题重述

飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比拟精确地确定飞机的位置。如VOR〔高频多向导航设备〕提供的飞机与该设备连线的角度信息；DME〔距离测量装置〕提供的飞机与该设备的距离信息。根据题目图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离(括号内是测量误差限)，来确定当前飞机的位置.

2问题分析

根据VOR〔高频多向导航设备〕和DME〔距离测量装置〕提供的信息，记设备VOR1、VOR2、VOR3、的坐标为()(以km为单位)，i=1,2,3；DME的坐()(以km为单位)，对数据进行标准化，统一量纲，同时全面的考虑各种误差因素，帮助减小不必要的误差，提高结果的精确度.

3模型假设

1.飞机和这些设备在同一平面上.

2.假设测量的误差服从正态分布.

4符号说明

符号符号说明 单位

第i个VOR的横坐标

第i个VOR的纵坐标

DEM的横坐标

DEM的纵坐标

第i个VOR的角度测量误差 度

DEM的距离测量误差 公里

第i个VOR的角度测量角度 度

DEM的测量距离 公里

待测飞机的坐标

5模型的建立与求解

5.1模型建立

5.1.1相关数据及处理

表1

设备

坐标

与飞机的距离或角度

误差

VOR1

〔764,1393〕

161.2度〔2.81347弧〕

0.8度〔0.014弧〕

VOR2

〔629,375〕

45.1度〔0.78714弧〕

0.6度〔0.0105弧〕

VOR3

〔1571,259〕

309.0度〔5.39307弧〕

1.3度〔0.0227弧〕

DME

〔155,987〕

864.3米

2米

采用VOR导航设备能够得到飞机与该设备连线的角度信息和DME测量装置得到飞机与该设备的距离信息对飞机定位。当设备间各自得到带有一定误差的数据时，为了比拟精确地确定飞机的位置就需要把相对应的误差值平方和最小，即角度误差与距离误差平方和最小，目标函数有最小时，决策变量只有飞机的位置坐标，因此需要建立一个NLP模型。

目标函数：

从测量误差入手，利用最小二乘法，求测量误差的残差平方和最小的情况下,决策变量的值。

首先将飞机与VOR角度和飞机与DEM距离进行了标准化处理，即

根据本例中给出的精度可以认为是测量误差的标准差(也可以是与标准差成比例的一个量，如标准差的3倍或6倍等)。在这种理解下，用各自的误差对测量误差进行无量纲化处理。

5.2模型求解

由LINGO程序〔见附录〕建立的优化模型，利用最小二乘法，求得

VariableValueReducedCost

X0981.90800.000000

Y0729.94030.000000

在最小误差为2.650275下，飞机坐标为〔981.90810,729.9403〕

6模型的评价与改良

这是飞机飞行过程中常见位置确定问题。在相关信息条件下，与实际情况较好的结合。并对数据数据进行了标准化的处理，尽可能的减小误差，该模型思路清晰，方法明确，结构简单。并经过模型的改良，所得结果较为精确.具有较强的实际应用价值。

同时该模型也有进一步改良的空间，由于设备测量本身误差的存在，想要得到更为精确的结果，需要全面的考虑各种误差因素，进一步改良算法.使所得结果更加接近真实值.对实际问题的解决更有实用价值.

参考文献

[1]谢金星.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，200