《高等应用数学》课件_第5章.pptxVIP

第五章定积分及其应用;

第一节定积分的概念与性质;;

分析将长方形的面积减出阴影部分的面积就是所求部分的面积.因而,只需求解图中阴影部分的面积.接下来我们研究如何求该阴影部分的面积.

为了便捷,将阴影部分旋转180°,即由两条互相平行,另外一条与它们垂直的直线,和一条连续的曲线所围成,此图形称为曲边梯形.然后,建立直角坐标系,如图5.2所示,求得抛物线的曲线方程是;;

用如下的方法来求曲边梯形面积的近似值:

(1)分割.将区间[-25,25]分10等份,得到10个小区间,各个小区间长度Δxi=xi-xi-1=5(i=1,2,…,10),其端点及对应的函数值见表5.1.;

(2)近似替代.过每个区间的端点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分割成10个小曲边梯形.以小曲边梯形的底边长Δxi=5为宽,右端点对应的函数值f(xi)为高作矩形,则各小矩形的面积为Ai=f(xi)Δxi(i=1,2,…,10),对应值见表5.2.

将小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积ΔAi,即;

(3)求和.将每个矩形的面积相加,所得的和就是整个曲边梯形面积的近似值,即

上面用分割求和的方法来求解曲边梯形面积的近似值.接下来,将在此方法的基础上改进,可求曲边梯形面积的精确值.;

(4)取极限.将区间[-25,25]分n等份,用类似方法,得到整个曲边梯形面积的近似值为

所以,窗户的采光面积为S=50×70-666.6667≈2833.3(cm2).;

定义1设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点

把区间[a,b]任意分割成n个小区间;

各小区间的长度为;;;;

二、定积分的性质

由定积分的定义,直接求定积分的值,往往比较复杂,但易推证定积分具有下述性质,其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的;;

性质4(积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在(a,b)内至少有一点ξ,使得;

性质4的几何意义是:由曲线y=f(x),直线x=a,x=b和x轴所围成曲边梯形的面积等于区间[a,b]上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间[a,b],矩形的高为区间[a,b]内某一点ξ处的函数值f(ξ),如图5.4所示.;;;

第二节定积分的基本公式;;;;

???、牛顿莱布尼兹公式

定理3若函数f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)在[a,b]上个的一个原函数,则

上式称为牛顿莱布尼兹公式,也称为定积分基本公式,它还常写成;

定理3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系,它把求定积分的问题转化为求原函数的问题,为计算定积分提供了一个有效的方法;;;

第三节定积分的计算;;;

定理1(换元积分法)设函数f(x)在[a,b]上连续,令x=φ(t),并且满足:

(1)φ(α)=a,φ(β)=b;

(2)φ(t)在区间[α,β]上有连续的导数φ(t);

(3)当t从α变到β时,φ(t)单调地从a变到b.则有定积分的换元公式:;;;

二、定积分的分部积分法

定理2设函数u=u(x)和v=v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则有

或简写成;;;;;

第四节反常积分;;;;;;?;;;;;;;

第五节定积分的应用;

下面对上述四个步骤进行具体分析:

第(1)步指明了所求量(面积A)具有的特性:即A在区间[a,b]上具有可分割性和可加性.

第(2)步是关键,这一步确定ΔAi≈f(ξi)Δxi.这可以从以下过程来理解:由于分割的任意性,用[x,x+dx]表示[a,b]内的任一小区间,并取小区间的左端点x为ξ,则ΔA的近似值就是以dx为底,f(x)为高的小矩形的面积(见图5.7阴影部分),即ΔA≈f(x)dx;;

通常称f(x)dx为面积微元,记为

将(3)、(4)两步合并,即将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”,就得到面积A.即A=∫baf(x)dx.;

一般说来,用定积分解决实际问题时,通常按以下步骤来进行:

(1)确定积分变量x,并求出相应的积分区间[a,b];

(2)在区间[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并在小区间上找出所求量F的微元dF=f(x)dx;

(3)写出所求量F的积分表达式F=∫baf(x)dx,然后计算它的值.

利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫作定积分的微元法.;

二、定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)求由