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1第五节一、近似计算二、微分方程的幂级数解法函数幂级数展开式的应用第十二章三、欧拉公式
2一、近似计算例1.计算的近似值,精确到解
3例2.计算的近似值,使准确到解已知故令得于是有用此式求ln2计算量大
4在上述展开式中取前四项,
5说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),
6例3.利用求误差.解先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计
7(取的近似值,精确到解例4.计算积分
8则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差
9的近似值,精确到解由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:例5.计算积分目录
10二、微分方程的幂级数解法代入原方程,比较同次幂系数可定常数由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解.①设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法1.一阶微分方程的情形
11解根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为例6.
122.二阶齐次线性微分方程问题定理:则在－RxR内方程②必有幂级数解:②设P(x),Q(x)在(－R,R)内可展成x的幂级数,(证明略)此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.
13解求解勒让德(Legendre)方程展成幂级数,故方程满足定理条件.设方程的解为代入④:④因方程特点,不用将P,Q进行展开定理例7.
14整理后得:比较系数,得例如:
15于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(－1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.19页
16(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.(2002考研)解(1)例8.19页
17所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:∴齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为19页
18代入初始条件可得故所求级数的和目录19页
19三、欧拉(Euler)公式则称③收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数③绝对收敛则称③绝对收敛.由于,故知欧拉
20的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.定义:复变量
21（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则欧拉
22据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有作业：14~16目录结束
23欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.目录结束
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