新高考数学一轮复习重难点练习12圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）（解析版）.doc

重难点12圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）

【目录】

考法1：弦长问题

考法2：面积问题

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

一、圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)

＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).

二、三角形面积问题

直线方程：

三、焦点三角形的面积

直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数

四、平行四边形的面积

直线为，直线为

注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.

三、题型方法

三、题型方法

1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知椭圆E：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.

（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.

将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.

（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，

由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，

所以直线l的方程为，即，

联立，可得，

，，，

所以.

2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.

【答案】(1)=1

(2)3

【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.

（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.

【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，

所以该双曲线的焦点在横轴上，

因为双曲线C两条准线之间的距离为1，

所以有，

又因为离心率为2，

所以有代入中，可得，

∴C的标准方程为：；

（2）

由上可知：该双曲线的渐近线方程为，

所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，

所以两条直线与双曲线的相交弦相等.

又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，

所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，

方程为与双曲线方程联立为：

，

设，则有，

3．（2023·全国·模拟预测）已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．

(1)求抛物线的方程；

(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得，解得、、，即可得解；

（2）由（1）可得，，即可求直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由焦点弦公式计算可得.

【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，

依题意可得，解得或，又、、，

所以，所以抛物线方程为.

（2）由（1）可得，，，

因为直线直线，所以，

所以直线的方程为，即，

由，消去整理得，

设，，所以，

所以，

所以.

4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．

(1)求抛物线的方程；

(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由题意，求得点的坐标，利用三角形的面积，建立方程，可得答案；

（2）利用分类讨论，明确直线的斜率存在，联立方程，写出韦达定理，求得中点坐标，利用两点距离公式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】（1）??

直线方程为，将其代入抛物线可得，

由已知得，解得，

故抛物线的方程为．

（2）??

因为，若直线分别与两坐标轴垂直，

则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，

所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，

则直线的方程为．

联立，得，则，

设，

则，设，则，则，

所以，同理可得，

故，

当且仅当且，即时等号成立，

故的最小值为6．

5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点的直线交于，两点，其中在第二象限．

(1)若过点，求的面积；

(2)设线段交半径为1的圆于点，直线与交于点，若直线，的斜率之比为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直线与椭圆联立方程