新高考数学一轮复习重难点练习15数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加）四种考法（解析版）.doc

重难点15数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加）四种考法

【目录】

考法1：分组求和法

考法2：裂项（相消）法

考法3：错位相减法

考法4：倒序相加法

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．

三、

三、题型方法

考法1：分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

一、解答题

1．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列满足：.

(1)设，求证数列是等比数列，并求其通项公式；

(2)求数列前20项中所有奇数项的和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2)

【分析】（1）根据题意，先求出，再计算得，即可证明是等比数列，进而求得；

（2）将前20项奇数项的和利用递推式转化为关于偶数项的和，再利用将关于的计算转化为关于的计算，进而求得结果.

【详解】（1）令，得；

根据题意，得，，

所以，

所以数列是，的等比数列，故；

（2）由（2）可得，

所以数列前20项中所有奇数项的和

.

2．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知数列满足．

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题中递推公式化简得到，从而求解.

（2）由（1）中结论得，然后利用分组并项求和，从而求解.

【详解】（1）数列满足,整理得：，

所以，即

又，

故是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）可知，，，

所以

．

．

3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解.

【详解】（1）因为，

时，,

两式相减得，????

，，，，

相乘得，所以，????

当时符合上式，

所以；

（2），

当为奇数时，

.

4．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据递推关系可得，所以奇数项和偶数项分别为等差数列，由通项公式求解即可；

（2）当为奇数时，奇数项有项，偶数项有，当为偶数时，奇数项和偶数项分别为项，分组求和即可.

【详解】（1）因为，所以，

两式相减可得，

因为，，所以，所以，

所以，，，，是首项为1，公差为3的等差数列，

，，，，是首项为2，公差为3的等差数列，

则，，

故；

（2）当为奇数时，

，

当为偶数时，

，

综上.

5．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)当为偶数时，，当为奇数时，.

【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；

（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.

【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，

即，又因为，所以，

所以数列的通项公式.

（2）由（1）知，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

经检验，时，满足，

综上，当为偶数时，，

当为奇数时，.

6．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列，数列的前和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据等差、等比数列的通项公式建立方程组，解出两个数列的基本量，即可求解；

（2）由（1）可得，结合分组求和法计算即可求解.

【详解】（1）设数列的首项为，数列的公差为，

因为，

可得，

所以

（2）由（1）知，，

所以，

.

7．（2024上·山东济南·高三统考期末）将数列中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：

????

????????????

????????????????????????????

……

记表中的第一列数，，，，…构成的数列为，为数列的前n项和，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k（）行所有项的和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由当时，，求出，再验证是否满足；

（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（）行有项，表示出，求解即可.

【详解】（1）当时，．

时，，也适合上式，

因此．

（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（）行