高考数学 新定义函数-三角函数型 解析版.docx

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新定义函数-三角函数型

一、多选题

1．已知函数，则下列选项正确的是（????）

A．函数的图像关于轴对称

B．函数分别在区间递减，递增

C．对恒成立

D．对恒成立

【答案】ACD

【分析】计算可得可判断A；令，求导进而可得，进而可判断B；令，求导可得可判断C；，可判断D.

【详解】对于A；，

又

，故A正确；

对于B；，

令，求导可得，

当时，，所以在上单调递减，

又，，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以函数在区间递增，

由对称性可知，函数在区间递减，故B错误；

令，则，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以，所以，所以，

又，所以，

所以，故C正确；

由B可知，

又，

又，所以对恒成立，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：关键在于构造函数，利用导数求得函数的单调性，进而可得，从而可得的单调性．

2．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.某种信号的波形可以利用函数的图象近似地模拟，则（???）

A．的最小正周期为

B．的值域为

C．直线与的图象恰有5个交点

D．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为

【答案】AC

【分析】根据三角恒等变换并去绝对值可得是的一个周期，可得A正确；其解析式为，结合图象可求得其值域，可知B错误；画出直线得出两函数交点个数可求出C正确，利用对称性以及的取值范围可求得所有实根的和，可得D错误.

【详解】由题可得

，

所以

，所以是的一个周期，

令，即，

则，，解得，；

令，即，

则，，解得，，

结合周期性可取和，

若，则；

若，则.

综上所述，；

结合周期性可得的图象如图所示，

由的图象可知，的最小正周期是，值域是，故A正确，B错误；

对于直线，当时，；

当时，，故当或时，直线与的图象没有交点；

当时，由图可知直线与的图象恰有5个交点，故C正确；

当，时，由图可知直线与的图象有8个交点，

设这8个交点的横坐标从小到大依次为，，，，，，，，

则，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据的表达式利用三角恒等变换再通过去绝对值画出函数图象，由数形结合即可判断得出结论.

3．已知函数，则下面说法正确的是（???）

A．是的一个周期 B．的最大值为

C．是的对称轴 D．是的对称中心

【答案】AD

【分析】根据二倍角公式可得，即可判断A；结合周期性利用导数求出函数的最大值即可判断B；利用即可判断C；利用即可判断D.

【详解】，

因为的最小正周期为，的最小正周期为，

所以的最小正周期为，故A正确；

，

又，令，

因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值，

此时当时，，当时，，

故当即时，有极大值，

又，因此的最大值为，

因为，

所以直线不是图象的对称轴，故B错误，C错误；

，

所以点是图象的对称点，故D正确.

故选：AD

4．已知函数，则下列结论正确的是（???）

A．是偶函数

B．的最小正周期是

C．的图象关于直线对称

D．若，，，则a的取值范围是

【答案】BCD

【分析】根据奇偶性、周期性和对称性的概念判断ABC，利用导函数求出在的单调性，结合对称性画出的大致函数图象，由题意可得当时，，，根据图象列不等式组求解即可.

【详解】对于A，因为，

所以是奇函数，A错误．

对于B，当时，；当时，．

又因为，

结合选项D中的图像可知，所以的最小正周期是，B正确．

对于C，，

所以的图象关于直线对称，C正确．

对于D，当时，，，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，在上单调递减．

，．

结合对称性，得到的部分图象如图所示．

当时，．

由题意可得，当时，，

．，，

结合的图象可得，解得，

则a的取值范围是，D正确．

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题选项D的关键是将原问题转化为的最值问题，利用导数结合对称性画出函数大致图象，列不等式组即可求解.

5．已知，则（????）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称

D．

【答案】ACD

【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；分析易得是函数的一个周期，进而结合导数求解值域，即可判断D选项的正误.

【详解】对于A，由，

则

，

所以的最小正周期为，故A正确；

对于B，令，，得，

所以的图象关于点对称，故B错误；

对于C，，

所以函数的图象关于直线对称，故C正确；

对于D，因为，

所以函数为周期函数，且是函数的一个周期，

只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，

由，

则，

当时，，故，

此时，函数在上单调递增，

当