线性连续系统的能控性.pptVIP

显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以状态不完全能控。将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵解由状态能控性的代数判据有在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前,先讨论状态能控性的如下性质:线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变。下面对该结论作简单证明。设线性变换阵为P,则系统?(A,B)经线性变换后为,并有2.模态判据由于1因此系统的状态能控性等价于?(A,B)的状态能控性,即线性变换不改变状态能控性。2基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约当规范形,通过分析约当规范形(对角线规范形视为其特例)的能控性来分析原状态空间模型的能控性。下面讨论线性定常连续系统约当规范形的状态能控性模态判据。约当块和约当矩阵01矩阵的约当块的定义为01由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diag{J1J2…Jl}01下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为1?1维的特征值2的约旦块和3?3维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为1?1维的特征值3的约旦块以及1?1维和2?2维的特征值-1的两个约旦块。A对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为1?1。B在本课程中,若未加以特别指出的话,则所有对约旦矩阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。由约旦块和约旦矩阵的定义可知,定理对为约当规范形的线性定常连续系统?(A,B),有:若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要条件为对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要条件为对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关。两点说明:状态能控性模态判据讨论的是约当规范形。若系统的状态空间模型不为约当规范形,则可根据线性变换不改变状态能控性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用模态判据判别状态能控性;模态判据不仅可判别出状态能控性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能控。这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的。01解由定理可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零,故系统状态完全能控。例试判断如下系统的状态能控性。02解A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。状态空间x1-x2-x3不完全能控状态子空间x1-x2不完全能控状态变量x3完全能控状态变量x2完全不能控状态变量x1完全不能控解由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关,且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全能控。解由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态x1,x2和x4不完全能控,则系统状态不完全能控。01状态空间x1-x2-x3-x4不完全能控02状态子空间x1-x2-x4不完全能控03状态变量x3完全能控0401040203由模态判据结论2可知,对单输入系统的状态能控性,有如下推论。推论若单输入线性定常连续系统?(A,B)的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能控。状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。下面我们给出另一种形式的状态能控性模态判据,称为PBH秩判据。该判据属于一种直接法。线性系统的能控性和能观性卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。01能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?02这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量