用曲线积分求旋转曲面的面积.pptVIP

June30,2012四川大学数学学院徐小湛June30,2012四川大学数学学院徐小湛6.2定积分的几何应用*用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海01作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。03将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。02本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。旋转轴为坐标轴6.2定积分的几何应用*先看特殊的情形设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L010302在曲线L的(x,y)处取一弧微分6.2定积分的几何应用*L它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L同理6.2定积分的几何应用*命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L下面针对不同的曲线方程01将曲线积分化为定积分02得到熟悉的旋转曲面的面积公式03直角坐标方程6.2定积分的几何应用*如果6.2定积分的几何应用*y=f(x)L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：如果6.2定积分的几何应用*y=f(x)L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：参数方程6.2定积分的几何应用*如果6.2定积分的几何应用*L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：如果6.2定积分的几何应用*则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：极坐标方程6.2定积分的几何应用*如果6.2定积分的几何应用*L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.古尔丁定理6.2定积分的几何应用*L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。形心231如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心下面来看一般的情形6.2定积分的几何应用*一般的曲线一般的旋转轴设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。

将L绕直线l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。L我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。lJune30,2012四川大学数学学院徐小湛June30,2012四川大学数学学院徐小湛*