线性规划凸集凸函数.ppt

关于线性规划凸集凸函数第1页，共19页，星期日，2025年，2月5日凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。定义1设，若对D中任意两点与，连接与的线段仍属于D；换言之，对，∈D，∈[0,1]恒有+(1-)∈D则称D为凸集。+(1-)称为和的凸组合。nRDí)1(x)2(x)1(x)2(x)1(x)2(xa)1(xa)2(xa)1(xaa)2(x)1(x)2(x第2页，共19页，星期日，2025年，2月5日例第3页，共19页，星期日，2025年，2月5日(i)超平面为凸集。{}b==xPxTH定义为(ii)半空间为凸集。{}b￡=-xPxTH定义为{}(iii)射线 为凸集，其中d为给定的非零向量，为定点。0,)0(3+==lldxxxL)0(x(iv)超球是凸集。(v)欧式空间是凸集，规定空集是凸集第4页，共19页，星期日，2025年，2月5日凸集的性质有限个凸集的交集仍然是凸集。设是凸集，则是凸集。设是凸集，则是凸集。凸集的和集仍然是凸集。设是凸集，则是凸集。推论：设是凸集，，则也是凸集，其中。第5页，共19页，星期日，2025年，2月5日定义3极点（顶点）：设D是凸集,若D中的点x不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的极点。设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的一个凸组合表示为X=αX(1)+(1-α)X(2),其中0α1，则称X为D的一个极点。定义2.凸组合：设X(1)，X(2)，…，X(k)是n维欧式空间中的k个点，若存在μ1,μ2,…,μk满足0≤μi≤1,(i=1,2,…,k),使X=μ1X(1)+μ2X(2)+…μkX(k)，则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。第6页，共19页，星期日，2025年，2月5日多边形的顶点是凸集的极点（顶点）。圆周上的点都是凸集的极点（顶点）。第7页，共19页，星期日，2025年，2月5日定义4设D为R中非空凸集，若对，∈D，∈(0,1)恒有n)1(x)2(xaf[+(1-)]≤+(1-)f(*))1(xa)2(xa)()1(xfaa)()2(x则称为D上的凸函数；进一步，若≠时，(*)式仅〝〞成立,则称为D上严格凸函数。)(xf)1(x)2(x)(xf对凸的一元函数的几何意义为：在曲线上任取两点P1(x1,),P2(x2,)弦