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《概率论》期末考试试题(A卷答案)

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设随机变量X的分布函数为F(x)，以下哪个选项正确描述了F(x)的性质？

A.F(x)是单调递增的

B.F(x)是单调递减的

C.F(x)可以不是单调的

D.F(x)的极限为0

答案：A.F(x)是单调递增的。

2.以下哪个分布是离散型随机变量的分布？

A.正态分布

B.指数分布

C.二项分布

D.均匀分布

答案：C.二项分布。

3.设X和Y是两个相互独立的随机变量，若X～N(0,1)，Y～N(1,4)，则X+Y的概率分布是：

A.N(1,5)

B.N(0,5)

C.N(1,2)

D.N(0,2)

答案：A.N(1,5)。

4.设随机变量X的期望为E(X)，方差为Var(X)，以下哪个等式成立？

A.E(X^2)=Var(X)

B.E(X^2)=E(X)+Var(X)

C.E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2

D.E(X^2)=Var(X)[E(X)]^2

答案：C.E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2。

5.以下哪个选项描述了切比雪夫不等式的正确形式？

A.对于任意正数ε，有P{|XE(X)|≥ε}≤Var(X)/ε^2

B.对于任意正数ε，有P{|XE(X)|≤ε}≤Var(X)/ε^2

C.对于任意正数ε，有P{|XE(X)|≥ε}≤Var(X)/ε

D.对于任意正数ε，有P{|XE(X)|≤ε}≤Var(X)/ε

答案：A.对于任意正数ε，有P{|XE(X)|≥ε}≤Var(X)/ε^2。

二、填空题（每题2分，共20分）

6.设随机变量X的期望为E(X)，则E(2X3)=_______。

答案：2E(X)3。

7.若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则称X和Y相互______。

答案：独立。

8.设随机变量X和Y的联合分布律为P{X=i,Y=j}=1/36，其中i,j=1,2,3,4,5,6，且i+j≤7，则X和Y相互______。

答案：独立。

9.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则标准化变量Z=(Xμ)/σ服从______分布。

答案：标准正态分布。

10.设随机变量X和Y相互独立，X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x,y)=_______。

答案：f(x,y)=1/2πe^((x^2+y^2)/2)。

三、判断题（每题2分，共10分）

11.两个相互独立的随机变量之和的方差等于它们各自方差的和。（）

答案：正确。

12.如果随机变量X和Y相互独立，则它们的协方差Cov(X,Y)一定为0。（）

答案：正确。

13.概率密度函数在任何点的值都大于或等于0。（）

答案：正确。

14.概率分布函数在任何点的值都小于或等于1。（）

答案：正确。

15.对于任意两个随机变量X和Y，它们的方差Var(X+Y)总是大于或等于Var(X)+Var(Y)。（）

答案：错误。

四、解答题（每题10分，共30分）

16.设随机变量X的概率分布为P{X=i}=1/6，其中i=1,2,3,4,5,6，求X的期望和方差。

答案：

期望E(X)=Σ[iP{X=i}]=(11/6+21/6+31/6+41/6+51/6+61/6)=3.5

方差Var(X)=Σ[(iE(X))^2P{X=i}]=(1/6)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)(3.5)^2=35/1212.25=1.0833。

17.设随机变量X和Y的联合概率分布如下表所示：

||Y=1|Y=2|Y=3|

|X=1|0.1|0.2|0.3|

|X=2|0.2|0.1|0.4|

求X和Y的边缘概率分布，并判断X和Y是否相互独立。

答案：

X的边缘概率分布：

P{X=1}=0.1+0.2+0.3=0.6

P{X=2}=0.2+0.1+0.4=0.7

Y的边缘概率分布：

P{Y=1}=0.1+0.2=0.3

P{Y=2}=0.2+0.1=0.3

P{Y=3}=0.3+0.4=0.7

由于P{X=1,Y=2}=0.2≠P{X=1}P{Y=2}=0