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第四章指数函数与对数函数
函数的应用（二）
例1求方程lnx+2x—6=0的实数解的个数.
分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图或列出x,y的对应值表，为观
察、判断零点所在区间提供帮助.
解：设函数/x（）=lnx+2x-6,利用计算工具，列出函数歹=/x（）的对应值表表（），并
画出图（图）.
表
X
y
1-4
2
3
4
5
6
7
8
9
由表和图可知，/(2)0,/(3)0,则/(2)/(3)0.由函数零点存在定理可知，函数
/(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.
容易证明，函数/(x)=lnx+2x-6,xw(0,+oo)是增函数，所以它只有一个零点，即相
应方程lnx+2x—6=0只有一个实数解.
例2借助信息技术，用二分法求方程T+3x=7的近似解(精确度为).
解：原方程即2、+3x—7=0,令/(力=2,+3一7,用信息技术画出函数》=/(x)的图
观察图或表，可知/⑴/(2)0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点%.
取区间(1,2)的中点须=1.5,用信息技术算得/(1.5)^0.33.因为/(1)/(1.5)0,所以
/e(1,1.5).
再取区间(5)的中点9=125,用信息技术算得了(1.25)。-0.87.因为
/(1.25)/(1.5)0,所以/e(1.25,1.5).
同理可得，x6(1.375,1.5),xe(1.375,1.4375).
00
由于|375-1.437$=0.06250.1,
所以，原方程的近似解可取为1.375.
例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系
列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.RMR版,s,1766—1834)就
提出了自然状态下的人口增长模型y=%e，其中f表示经过的时间，为表示/=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率.
表是1950-1959年我国的人口数据资料•：
年份1950195119521953195419551956195719581959
人口数
55196563005748258796602666145662828645636599467207
/万
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到)，用马尔萨
斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据
是否相符；
(2)如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量先和年
平均增长率r.
解：(1)设1951〜1959年我国各年的人口增长率分别为q,r2,4.由
55196(1+^)=56300,
可得1951年的人口增长率/70.020.
同理可得，r«0.0210,G«0.0229,r«0.0250,r«0.
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