高一数学函数单调性和最值.docVIP

第四届全国数学教师教学论文〔设计〕大赛

参赛作品题目〔一〕：高一数学必修(I)1.3.1函数的单调性与最大(小)值

作者姓名：刘源职务：教师职称：中一

单位：四川省巴中市巴州区鼎山中学

地址：四川省巴中市巴州区鼎山镇明月街23号

：636049联系：

注：本次参赛作品由本人必威体育精装版编写，目前尚未发表

高一数学必修(I)函数的单调性与最大(小)值

四川省巴中市巴州区鼎山中学刘源

教学内容分析：

函数单调性是函数性质中的第一性质,也是函数最重要的性质之一,它刻画了当自变量变化时,因变量的变化趋势。对于函数单调性的理解和应用，应该注意以下几点：

①讨论函数的单调性必须在其定义域范围内进行，即函数的单调区间是定义域的子区间，一个函数在不同的子区间上可以有不同的单调性，单调性与“区间”紧密相关，是一个局部概念；

②单调性是指函数在某一区间上的“整体”性质，所以定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值替代；

③单调区间能写闭区间的最好写闭区间，假设在区间的端点处没有定义，那么写成开区间。例如在〔0，+∞〕上是减函数，在〔-∞，0〕上也是减函数，它有两个减区间，但是绝对不能说在〔0，+∞〕∪〔-∞，0〕上是减函数；

④函数的单调性反映在图象上是函数图象的走势，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；

⑤中学教材中所指的单调性是严格单调的，即必须是f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，绝不是f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)。

详细知识点总结：

函数单调性的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2),那么称f(x)在区间D上是单调增或〔减函数〕，D称为f(x)的单调增或〔减〕区间．

2、证明函数单调性的步骤

证明函数单调性应该按以下步骤进行：

第一步：取值

第二步：作差变形

第三步：定号

第四步：判断下结论

3、现在已经学过的判断函数单调性的方法

数值列表法〔不常用〕，图象法，定义法．

题型一：用定义证明函数的单调性

例1、利用函数的单调性求函数y=的值域。

解：任意取,且，那么有

所以=在,+∞)上是增函数,

,+∞)

题型二：图象法对单调性的判断

例2：指出以下函数的单调区间：

如果函数的图象比拟好画，我们就画图象观察

如果函数的图象比拟好画，我们就画图象观察——图象法．

题型三：利用函数单调性进行判断

例3：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由．

解：y=3－2f(x)在A上是增函数，因为：

任取x1，x2∈A，且x1x2,

由f(x)在A上为减函数，所以

f(x1)f(x2),故－2f(x1)－2f(x2)所以3－2f(x1)3－2f(x2)即有

y1y2,由定义可知，y＝3－2f(x)在A上为增函数．

结论2：y＝f(x)与y＝kf(x)当k0时，单调性相同；当k0时，单调性相反．

结论3：假设f(x)与g(x)在R上是增函数，那么f(x)+g(x)也是增函

结论4：假设f(x)在R上是增函数，g(x)在R上是减函数，那么f(x)－g(x)也是增函数．

题型四：函数单调性解题应用

例1：函数

y=x2－2ax＋a2－1在(－∞，1)上是减函数，求a的取值范围．

解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化．

练习：如果f(x)=x2－(a－1)x+5在区间〔，1〕上是增函数，那么

f(2)的取值范围是什么？

答案：[7，＋∞〕

例2：x∈[0，1]，那么函数

的最大值为_______

最小值为_________

利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法．

例3：：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1)

求x的取值范围．

注：在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制．

保证实施的是等价转化．

例4：f(x)在其定义域R＋上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)解不等式,f(x)+f(x－2)≤3

解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，此题就抓住这点想方法构造出f(8)=3,这样就能用单调性解不等式了．

深层练习：

函数对任意实数都有且当时，.

求;

求证:在R上为增函数;

假设,解不等式.

解:(1),得=1

证明:任取，且.

由题意,有

=

，

，

在R上为增函数.

(3)