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模块七不等式

考纲解读

高考大纲

考试内容

要求层次

A

B

C

不等关系与不等式

?

不等式的解法

解一元二次不等式

?

简单的线性规划

用二元一次不等式组表示平面区域

?

简单的线性规划问题

?

利用根本不等式求最值

用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题

?

不等式的综合运用

?

分析解读

〔1〕了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件.

〔2〕掌握一元一次、一元二次不等式的解法.

〔3〕会求含有参数的一元二次不等式.

〔4〕会解简单的分式不等式、绝对值不等式等.

〔5〕多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.

〔6〕能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，消耗的人力、物力资源最少.

〔7〕能够利用根本不等式求函数的最值，能熟练运用比拟法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方法思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式.

〔8〕求函数的定义域、值域；比拟大小；确定参数的取值范围；利用不等式探讨函数的性质；利用不等式求最值；解决实际应用性问题.

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考点剖析

考点一不等式的概念和性质

不等式的根本概念

不等〔等〕号的定义：

不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

同向不等式与异向不等式.

同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的根本性质

〔1〕〔对称性〕；

〔2〕〔传递性〕

〔3〕〔加法单调性〕

〔4〕〔同向不等式相加〕

〔5〕〔异向不等式相减〕

〔6〕

〔7〕〔乘法单调性〕

〔8〕〔同向不等式相乘〕

〔异向不等式相除〕

〔倒数关系〕

〔11〕〔平方法那么〕

〔12〕〔开方法那么〕

3.几个常用不等式

〔1〕(根据目标不等式左右的运算结构选用)；

〔2〕a、b、cR，〔当且仅当时，取等号〕；

〔3〕假设，那么〔糖水的浓度问题〕。

考点二不等式的解法

〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.

步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.

特例：①一元一次不等式axb解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)解的讨论.

〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么

〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解

①

②

③

〔4〕指数不等式：转化为代数不等式

〔5〕对数不等式：转化为代数不等式

〔6〕含绝对值不等式

eq\o\ac(○,1)应用分类讨论思想去绝对值；

eq\o\ac(○,2)应用数形思想；

eq\o\ac(○,3)应用化归思想等价转化

考点三不等式的证明

1、证明不等式的方法：比拟法、分析法、综合法和放缩法

比拟法的步骤是：作差〔商〕后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

2、常用的放缩技巧有：

考点四简单的线性规划

1、涉及到的概念

〔1〕目标函数:P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.

〔2〕可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

〔3〕整点:坐标为整数的点叫做整点．

〔4〕线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

〔5〕整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.

2、方法技巧

〔1〕对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

〔2〕确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，假设适合，那么该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否那么，直线的另一侧为所求的平面区域．假设直线不过原点，通常选择原点代入检验．

〔3〕平移直线y=-kx+p时，直线必须经过可行域．

〔4〕对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．

〔5〕简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：①寻找线性约束条件，线性目标函数；②由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；③在可行域内求目标函数的最优解.

考点六不等式的综合应用

1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.

注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.

3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.

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