新高考数学一轮复习重难点练习16数列的综合问题（数列新定义、数列与不等式、数列与函数）解析版.doc

重难点16数列的综合问题（数列新定义、数列与不等式、数列与函数）

【目录】

考法1：数列新定义

考法2：数列与不等式

考法3：数列与函数

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．

三、题型方法考法1：数列新定义

三、题型方法

一、解答题

1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为.

(1)若，求，；

(2)设满足的n的最小值为，求及（其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；

【答案】(1)，；

(2)，；

【分析】（1）根据数列的一次“和扩充”，即可列举出数列求解.

（2）根据第次“和扩充”后增加的项数，与经“和扩充”后的项数为，构造等比数列即可求解，结合“和扩充”，即可列举出数列求解.

【详解】（1）数列1，2，3，经第1次“和扩充”后得到数列为1，3，2，5，3，

数列1，2，3，经第2次“和扩充”后得到数列为1，4，3，5，2，7，5，8，3，

所以，；

（2）数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经“和扩充”后的项数为，

则经第次“和扩充”后增加的项数为，

所以，所以，

由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，所以，

由，即，解得，所以满足的n的最小值为10，故，所以，

数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，

数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列

，且，

即；

2．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知和是各项均为正整数的无穷数列，若和都是递增数列，且中任意两个不同的项的和不是中的项，则称被屏蔽．已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由．

【答案】(1)

(2)，能，理由见解析

【分析】（1）利用作差法即可求得;

（2）利用错位相减法求和，再根据题干定义判断即可．

【详解】（1）由，令，可得，

当时，，，

上述两式作差可得（），

因为满足上式，可知（）．

（2）因为，所以，所以，

，，

作差得，

.

所以．

显然，是递增数列，且各项均为偶数，

而递增数列的各项均为奇数，所以中的任意两项的和均不是中的项，

所以能被屏蔽．

3．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.

(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；

(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；

(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.

【答案】(1)不是“紧密数列”，理由见解析

(2)数列是“紧密数列”，理由见解析

(3)

【分析】（1）利用“紧密数列”的定义判断即可；

（2）利用求得数列的通项公式，再证得，由此证得是“紧密数列”；

（3）先根据是“紧密数列”，求得的一个取值范围，对于对分成、和三种情况，利用列不等式组，由此求得的取值范围.

【详解】（1），所以不是“紧密数列”；

（2）数列为“紧密数列；理由如下：

数列的前项和，

当时，；

当时，，

又，即满足，因此，

所以对任意，

所以，

因此数列为“紧密”数列；

（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，

当时，有，

所以，满足题意；

当时.，

因为为“紧密数列，所以.即或，

当时，，

，

所以，满足为“紧密”数列；

当时，，不满足为“紧密数列；

综上，实数的取值范围是.

4．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析；

(2)63

【分析】（1）取，验证即可；

（2）当时，，根据速增数列的定义可得，从而可得，进而可求解.

【详解】（1）取，

则，，

因为，所以，

所以数列是“递增数列”.

（2）当时，

，

因为数列为“速增数列”，

所以，且，

所以，

即，

当时，，

当时，，

故正整数的最大值为63.

5．（2023·海南海口·统考模拟预测