新高考数学一轮复习重难点练习17导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点）解析版.doc

重难点17导数在函数及方程中的应用（单调性、极值、最值、零点）

【目录】

考法1：利用导数研究函数的单调性

考法2：利用导数求函数的极值

考法3：利用导数求函数的最值

考法4：导数与函数零点

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，

①该区间内为增函数；

②该区间内为减函数；

注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或

递减）的。

=3\*GB3③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；

=4\*GB3④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；

2.利用导数求极值：

（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。

（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。

特别提醒：

=1\*GB3①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。

=2\*GB3②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

3.利用导数求最值：比较端点值和极值

（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：

=1\*GB3①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；

=2\*GB3②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

三、题型

三、题型方法

一．解答题（共18小题）

1．（2024?北京模拟）设，函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，求．

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系判断单调性即可；

（2）构造函数，分类讨论与，结合（1）中结论即可得解；

（3）构造函数，利用导数分类讨论的取值范围，结合的单调性即可得解．

【解答】解：（1）因为的定义域为，，

则，

令，得；令，得；

所以在单调递减，在单调递增．

（2）因为，所以等价于，

记函数，

当时，，不合题意；

当时，由（1）知，解得，；

综上，的取值范围是，．

（3）记函数，

则，

若，

令，得；令，得；

在单调递增，在单调递减，故（1），符合题意；

若，当时，，

则在单调递减，故，不合题意；

若，当时，，

则在单调递增，故，不合题意；

若，，当时，，则在单调递增，

故（1），不合题意．

综上，．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．

2．（2024?内江一模）已知函数，，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，求函数的零点个数．

【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，进而即可求解；

（2）对函数进行求导，分别讨论和这两种情况进行分析，结合零点存在性定理进行求解即可．

【解答】解：（1）当时，，，，，

，

的单调增区间为，单调减区间为．

（2），，，，

①当时，在，上恒成立，在，上单调递增，

由知，在，上有0个零点；

②当时，存在唯一，使得，

当，时，，单调递增；当，时，，单调递减，

又，，

则若，即，在，上有0个零点，

若，即，在，上有1个零点．

故由①②知：当时，在，上有0个零点；当时，在，上有1个零点．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点，属于中档题．

3．（2023?德州三模）已知函数，其中．

（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若存在两个极值点，，的取值范围为，求的取值范围．

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；

（3）根据存在两个极值点可得，且，，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果．

【解答】解：（1）当时，，定义域为，

所以，

所以（1），

又（1），

所以函数在，（1）处的切线方程为，即．

（2）的定义域是，

，，

令，则△．

①当或△，即时，恒成立，

所以在上单调递增．

②当，即时，

由，得或；

由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；

当时，有两个极值点，即方程有两个正根，，

所以，，

则在，上是减函数．

所以