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考研数学二特征值与特征向量

1.【单项选择题】已知A是三阶矩阵，满足A2+2A=0,若|A+3E|=3,则|2A+E|=

A.-4.

B.9.

C.16.

D.-9.

正确答案：B

参考解析：设入是A的任一特征值，a是相应的特征向量，即Aa=、a,aWO,

那么由A2+2A=0,有（入2+2入）a=0,aWO,故?+2=0,入2+2为0或-2。于

是A+3E的特征值为3或1,|A+3E|=3,那么A的特征值只能是0,-2,-2。则

2A+E的特征值:1,-3,-3

2.【单项选择题】三阶矩阵A的特征值全为零，则必有

A.秩r（A）=O.

B.秩r(A)=L

C.秩r(A)=2.

D.条件不足，不能确定.

正确答案：D

参考解析：请考查下列矩阵

-0001-010]-010

000,000.001

_00oJ.000_10A

它们的特征值全是零,而秩分别为0,1,2.可见仅由特征值全是零是不能确定

矩阵的秩的.

3.【单项选择题】下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是

■300]

-2-10.

A.L141J

3「101

153

B.1_0

32_

F10-1]

—303

C.50-5|

2「12]

0-13.

D.002

正确答案：D

参考解析：A（）是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三

个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.

B（）是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化.

c（）是秩为1的矩阵，由|人E-A|=0,知矩阵的特征值是-4,0,0.对于二重根

入=0,由秩

r0（E—A）=rA（）=1

知齐次方程组O（E—A）x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即A=0有两个

线性无关的特征向狼，从而矩阵必可以相似对角化.

D（）是上三角矩阵，主对角线上的元素元一1,2就是矩阵的特征值，对于二重特征值入=

2,由秩

m-1-21

r2（E-A）=r03-3=2

[o00J

知齐次方程组2（E—A）X=0只有3—2=1个线性无关的解,亦即A=2只有一个线性无关

的特征向也.故矩阵必不能相似对角化,所以应当选D（）.

4.【单项选择题】设A为n阶可逆矩阵，入为A的特征值，则A*的一个特征值

为（）.

IA尸

A.7~

B.A

C.X|A

D.入A-

正确答案：B

参考解析：

因为.可逆•所以AH0.令AXAX.WAAXV