新高考数学一轮复习题型精准训练10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）(解析版).doc

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）

知识梳理

一离散型随机变量的分布列

一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X=xk)=pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.

离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

二二项分布与超几何分布

1.独立重复试验

在相同条件下重复做n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是互相独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且P(X=k)=，k=0，1，2，…，n，X的分布列为：

0

1

?

k

?

n

?

?

X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)

3．超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MN)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M))，而且P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，这里的X称为服从参数N，n，M的超几何分布，记作X~H(N，n，M).

如果X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表:

0

1

?

k

?

s

?

?

三随机变量的数字特征

1、均值

（1）定义：一般地，由离散型随机变量X的分布列E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).

（2）常见的均值

=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np.

=2\*GB3②若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M)，则E(X)=

（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，EY=aEX+b.

2.方差

（1）定义：由离散型随机变量X的分布列D(X)=[x1?E(X)]2p1+[x2?E(X)]2p2

（2）常见的方差

=1\*GB3①若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n，p)，则D(X)=np（1-p）.

（3）性质：已知X是一个随机变量，设都是实数且则Y+也是一个随机变量，那么，DY=a2

四正态分布

1.正态曲线

(1)定义:一般地，函数φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ(x)也常记为φμ，σ(x).其中μ=E(X)，即X的均值;σ=，即X的标准差.

(2)正态曲线的性质

=1\*GB3①正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点;

=2\*GB3②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;

=3\*GB3③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

2．正态分布

如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X~N(μ，σ2).

μ是X的平均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差.

由正态曲线的性质及前面例题可知，如果X~N(μ，σ2)，那么

P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，

P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，

P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，

P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.

题型战法

题型战法一离散型随机变量及其分布列

典例1．设离散形随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

0.2

0.1

0.1

0.3

0.3

若随机变量，则等于（????）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】A

【分析】直接利用，即可求解.

【详解】因为，所以．

故选：A．

变式1-1．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（????）

X

0

1

2

3

P

0.1

a

b

0.1

A． B． C．