新高考数学一轮复习题型精准训练8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）(解析版).doc

第八章平面解析几何

8.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（题型战法）

知识梳理

一直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(ab0)的位置关系的判断方法：联立

消去y得到一个关于x的一元二次方程.

Δ0?有两个公共点；Δ=0?有一个公共点；Δ0?有0个公共点.

二直线与双曲线的位置关系

设直线l：y=kx+m（m≠0），①双曲线C：-=1（a0，b0），②

把①代入②得（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

（1）当b2-a2k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线，相交于一点.

（2）当b2-a2k2≠0，即k≠±时，Δ=（-2a2mk）2-4（b2-a2k2）（-a2m2-a2b2）.

Δ0?有两个公共点；Δ=0?有一个公共点；Δ0?有0个公共点.

三直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．

当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0，直线与抛物线没有公共点．

当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．

四弦长公式

若斜率为k（k≠0）的直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|=.

题型战法

题型战法一直线与圆锥曲线的位置关系

典例1．直线与椭圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论.

【详解】，在椭圆内，

恒过点，直线与椭圆相交.

故选：A.

变式1-1．直线与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】联立直线和椭圆方程得得或，又因为，综合即得解.

【详解】联立直线和椭圆方程得，

所以

所以，

所以或，

因为

所以且.

故选：C

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

变式1-2．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.

【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为，联立，得①.

当，即时，①式只有一个解；

当时，则，解得；

综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.

故选：D.

变式1-3．若直线与双曲线相交，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.

【详解】联立直线和双曲线的方程得

当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，

所以直线与双曲线没有公共点.

当，即时，，

解之得.

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

变式1-4．过点与抛物线只有一个公共点的直线有(????)

A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条

【答案】C

【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．

题型战法二圆锥曲线中的弦长、焦点弦问题

典例2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用弦长公式求解即可.

【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程

整理可得：，设，

则，，根据弦长公式有：

=．故B，C，D错误.

故选：A.

变式2-1．直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（????）

A． B．±1 C． D．±2

【答案】B

【分析】联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，结合求得的值.

【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，

所以弦长|AB|＝＝＝，

由题意可得：＝，解得：.

故选：B

变式2-2．直线与双曲线有两个交点为，，则（????）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．

【详解】由，得，，

∴.

故选：C．

变式2-3．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（????）

A．1 B．3 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.

【详解】解：由题意可知，所以直线与的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，可