高中数学复习专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）.docxVIP

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专题26数列的概念6题型分类

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照确定的顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列{an}的前n项和

把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项间的大小关系

递增数列

an＋1an

其中n∈N*

递减数列

an＋1an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

5．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．

（一）

Sn与an的关系问题的求解思路

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

题型1：由an与Sn的关系求通项公式

1-1．（2024·浙江）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝，S5＝．

【答案】1121

【详解】试题分析：，

再由，又，

所以

【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和．

【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误.

1-2．（2024·北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．

【答案】；3

【详解】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项．

1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，，且

，则数列的通项公式为.

【答案】

【分析】根据之间的关系，结合累和法、等比数列的前项和公式进行求解即可.

【详解】当时，，

因为，，所以，

因此当时，，

于是当时，

，

显然适合，

故，

故答案为：.

1-4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）数列满足，（，），则.

【答案】

【解析】利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.

【详解】由于，

即

故是以为首项，为公差的等差数列

由于

故答案为：

【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题.

（二）

由数列的递推关系求通项公式

(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．

(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．

题型2：累加法

2-1．（2024·安徽安庆·一模）数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是.

【答案】

【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.

【详解】

从而可得

即，因为，所以.

故答案为：

2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的最小值为

【答案】9

【分析】由已知可得时，.累加法可推得，进而得出.构造，根据对勾函数的性质，得出函数的单调性，进而根据，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以当时，有.

则有

，

，

，

，

两边分别相加可得，，

所以.

当时，满足条件.

所以，，

所以.

设，

根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.

又，，

所以，当或时，有最小值为9.

故答案为：9.

题型3