高中数学复习专题38 直线的方程8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）.docxVIP

专题38直线的方程8题型分类

1．直线的方向向量

设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．

2．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

3．直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

4．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

y－y0＝k(x－x0)

不含直线x＝x0

斜截式

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)

不含直线x＝x1和直线y＝y1

截距式

eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

平面直角坐标系内的直线都适用

常用结论

1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

α

0°

0°α90°

90°

90°α180°

k

0

k0

不存在

k0

牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．

3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．

（一）

1.正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．

2.直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．

3.一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．

题型1：求直线的倾斜角

1-1．（2024高二上·江苏无锡·期末）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是．

1-2．（2024高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是

1-3．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

1-4．（2024·湖南·模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（????）

A． B． C． D．

1-5．（2024高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么.

1-6．（陕西省渭南市白水县2023~2024学年高一上学期期末数学试题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

题型2：求直线的斜率

2-1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（???）

A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直

2-2．（2024高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（????）

A． B． C．1 D．0

2-3．（2024高二上·广东）如图，若直线的斜率分别为，则（????）

????

A． B．

C． D．

2-4．（2024高二下·广东广州·期末）在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

2-5．（2024高三·全国·专题练习）设，则（????）

A． B． C． D．

2-6．（2024·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（）

A． B． C． D．

题型3：三点共线问题

3-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（????）

A．2 B．4 C．8 D．12

3-2．（2024高二上·黑龙江·期末）若三点，，共线，则实数的值是（????）

A．6 B． C． D．2

3-3．（2024高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为

A．1 B． C