非线性方程求解算法的程序设计及比对.docVIP

题目：非线性方程求解算法的程序设计及比对

摘要

由于五次及其以上代数方程式大多不能用代数公式求解非线性方程的解.或者求解非常复杂。而在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题.所以需要研究非线性方程的数值解法的问题是非常重要.来适应我们社会的需要.

本课题主要介绍非线性方程的数值解法是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求，主要的方法有二分法，迭代法，牛顿法，弦截法等。并写出这几种非线性方程的数值解法的算法和程序及其优缺点和计算条件.

关键词二分法;牛顿迭代法;弦截法法;程序框架图;C语言编程

目录

TOC\o1-3\h\z\u引言 1

第一章非线性方程求解算法 2

§1.1二分法 2

§1.1.1二分法的简介 2

§1.1.2二分法的原理 2

§1.1.3二分法的算法 3

§1.2不动点迭代法 4

§1.2.1不动点迭代法的简介 4

§1.2.2不动点迭代法的几何意义 4

§1.2.3不动点迭代法的算法 5

§1.3牛顿迭代法 6

§1.3.1牛顿迭代法的简介 6

§1.3.2牛顿迭代法的原理 6

§1.3.3牛顿迭代法的算法 7

§1.4弦截法 8

§1.4.1弦截法的简介 8

§1.4.2弦截法的原理 8

§1.4.3弦截法的算法 9

第二章非线性方程求解的C语言算法比照 11

§2.1C语言求解非线性方程的根 11

§构造非线性方程迭代公式 11

§计算迭代公式 11

§2.2C语言算法比拟分析 14

参考文献 16

附录A 17

附录B 18

引言

代数方程求根问题是一个古老的数学问题,早在16世纪就得到了三次、四次方程的求根公式.一般(五次及其以上)代数方程式不能用代数公式求解.在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题.因此,需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解.

根的数值方法,其中是连续的称为非线性方程,此类方程除少数情形外,只能求近似解.

例如,,其根为像这种方程是可以直接的方法求出解析解.但对于对于多项式方程

当时,就不能得到解析解.对于更一般的情况〔如超越方程〕

就更难求得解析解了,更就不存在根的解析表达式,在科学研究和科学计算中常常碰到非线性方程求解问题.非线性方程的解一般不能解析求出.所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现那么更为重要.

本课题主要是应用数值解法结合计算机语言来求解非线性方程的解,其中包括的数值解法有二分法、迭代法、牛顿法、弦截法等.主要用的计算机语言C语言、ＭＡＴＬＡＢ等.正好符合用计算机语言来处理复杂计算量的数学问题,以此来分析几种非线性数值解法的优缺点,计算量的大小.来选出更加适合的计算方法.

第一章非线性方程求解的算法

§1.1二分法

§二分法的简介

二分法又称二分区间法,是求解方程的近似根的一种常用的简单方法.

设函数在闭区间上连续,且,根据连续函数的性质可知,在内必有实根,称区间为有根区间.为明确起见,假定方程在区间内有惟一实根.二分法的根本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根.

§二分法的原理

设方程在区间内有根,二分法就是逐步收缩有根区间,最后得出

图1.1二分法原理图

所求的根,如上图所示,我们可以写出一下内容.

(1)输入有根区间的端点及预先给定的精度；

(2)计算；

(3)假设,那么;否那么；

(4)假设,那么输出方程满足精度要求的根,计算结束；否那么转(2).继续执行前面的步骤.

开始开始

开始

开始

输入a,b

输入a,b,

(a+b)/2?

(a+b)/2?x

x?b|b-a|ε0x?ayn输出x结束

x?b

|b-a|ε0

x?a

y

n

输出x

结束

yn

图1.2二分法的程序框架图

§二分法的算法

给定区间,求在该区间上的根.

输入:a和b;容许误差eps;对分次数k

输出:近似根.

Step1