定积分概念、求解.ppt

定积分的概念

一、抽象定积分概念现实原型

原型（求曲边梯形的面积）

曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0),

x轴与两直线xa,xb所围成.

yyf(x)

A?

oabx

考察下列图形由哪些曲边围成.

ysinx

x0Axππ

0y0π

y2

x0A

x2x2

y

2

02

曲边梯形的面积的解决思路：

利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可

概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.

第一步分割；

将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂

直于x轴的记直线x).xx.

iii1

yyf(x)

a

ox1x2xi1xixn1bx

第二步取近似；

取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.

典型小区域面积Si



yyf(x)

高

f(i)

i

a

ox1x2xi1底xixn1bx

xi

Sif(i)xi.

第三步求和；

将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将

所有的小矩形面积加起来.矩形面积和与曲边梯形面

积不相等

yf(x)

y

axxxxxn

o1122i1iin11bnx

nn

Sif(i)xi.

i1i1

第四步取极限.

当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形

面积之和越近似于曲边梯形面积.



yyf(x)

oabx

xi0,i1,2,,nmax{xi}0



曲边梯形面积的近似值为:

nn

ASif(i)xi

i1i1

f(1)x1f(2)x2f(3)x3f(n)xn,

当分割无限加细,即小区间的最大长度

趋近于零时

max{x1,x2,,xn}(0),

曲边梯形面积为

n

Alimf(i)xi

0

i1

lim[f(1)x1f(2)x2f(3)x3