2025年人教版八年级下册数学培优训练考点十九正方形.docxVIP

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十九正方形

【A层基础夯实】

知识点1正方形的性质

1.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C)

A.(3,-3)B.(-3,3)

C.(3,3) D.(-3,-3)

2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为3.?

3.(2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是2.?

4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.

(1)求证:△BCP≌△DCP;

【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°,

∵在△BCP和△DCP中,BC=

∴△BCP≌△DCP(SAS);

(2)求证:DP⊥PE.

【证明】(2)如图所示:

由(1)知,△BCP≌△DCP,

∴∠CBP=∠CDP,

∵PE=PB,

∴∠CBP=∠E,

∵∠BCD=90°,

∴∠DCE=90°,

∴∠E+∠2=90°,

∵∠1=∠2,

∴∠1+∠CDP=90°,

∴∠DPE=90°,

∴DP⊥PE.

知识点2正方形的判定

5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是(C)

A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD

B.AD∥BC,∠A=∠C

C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件∠BAD=90°(答案不唯一),使四边形ABCD是正方形(填一个即可).?

7.(2024·东莞期中)如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.

【解析】∵DE⊥AB,DF⊥BC,

∴∠DEB=∠DFB=90°,

又∵∠ABC=90°,

∴四边形BEDF为矩形,

∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,

∴DE=DF,

∴矩形BEDF为正方形.

【B层能力进阶】

8.(2024·福州期中)下列说法中不正确的是(D)

A.菱形的四条边相等

B.平行四边形的对角线互相平分

C.正方形的对角线相等

D.矩形的对角线互相垂直

9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是(B)

A.20 B.25 C.30 D.35

10.(2023·湘潭中考)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为2dm2.?

11.(2023·广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为?2.?

12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是30°或150°.?

13.如图,已知E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF.

(1)请判断四边形AECF的形状,并说明理由;

【解析】(1)四边形AECF是菱形,

连接AC,交BD于点O,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO,

∵BE=DF,

∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,

∴四边形AECF是平行四边形,

∵AC⊥EF,

∴四边形AECF是菱形;

(2)若四边形AECF的周长为85,且BE=2,求正方形ABCD的边长.

【解析】(2)由(1)知,四边形AECF是菱形,四边形ABCD是正方形,

∵四边形AECF的周长为85,BE=2,AC⊥EF,AC=BD,

∴OA=OE+BE=OE+2,AE=CE=CF=AF=25,

∴AE2=OA2+OE2,

即(25)2=(OE+2)2+OE2,

∴OE=2,

∴OA=OB=OE+BE=4,

∴AB=OA2+

∴正方形ABCD的边长为42.

【C层创新挑战(选做)】

14.(几何直观、推理能力、模型观念)(2024·楚雄期中)如图,在Rt△ABC中,

∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.

(1)求证:CE=AD;

【解析】(1)∵DE⊥BC,

∴∠DFB=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACB=∠DFB,

∴AC∥