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2024届高三年级2月份大联考

数学试题

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则中元素的个数为（）

A．4B．5C．6D．7

2．已知在中，，则（）

A．1B．C．D．

3．若，则（）

A．B．C．D．

4．若，则（）

A．B．C．D．

5．若定义在上的函数满足，则下列结论一定正确的为（）

A．的图象关于原点对称B．的图象关于y轴对称

C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称

6．已知点P是曲线在第一象限内的一点，A为的左顶点，R为PA的中点，F为的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为，则的面积为（）

A．B．C．D．

7．在某电路上有C、D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为0．1，则在某次通电后C、D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）

A．B．C．D．

8．在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱VA在平面VBC上的射影长度为（）

A．B．C．D．2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．若z满足，则（）

A．z的实部为3B．z的虚部为1

C．D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3

10．已知，则（）

A．若，则存在唯一的实数p，q，使得

B．若，则

C．若，则

D．若，则在上的投影向量为

11．若过点可作曲线的n条切线，则（）

A．若，则

B．若，且，则

C．若，则

D．过，仅可作的一条切线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为_________．

13．在数列中，，且，则的通项公式为_________．

14．若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则_________．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．

（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；

（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为，摸到二等奖的概率为，每个人摸奖相互独立，设恰好有n（）个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时n的值．

附：若，则．

16．（本小题满分15分）

如图，在圆锥SO中，若轴截面SAB是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段OA上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作DE垂直底面于E，连接OE，EF，DF，CF，CD，且．

（1）求证：平面平面DEF；

（2）若为正三角形，且F为AO的中点，求平面CDF与平面DEF夹角的余弦值．

17．（本小题满分15分）

设函数，其中a为实数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．

18．（本小题满分17分）

在直角坐标系中，已知．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．

①证明：l与ON相交；

②已知l与直线ON交于T，若，求的最大值．

19．（本小题满分17分）

在无穷数列中，令，若，则称对前n项之积是封闭的．

（1）试判断：任意一个无穷等差数列对前n项之积是否是封闭的？

（2）设是无穷等比数列，其首项，公比为q．若对前n项之积是封闭的，求出q的两个值（若多求，则按前2个计分）；

（3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前n项之积都是封闭的．

数学参考答案及解析

一、选择题

1．D【解析】因为，，所以中元素的个数为7．故选D．

2．D【解析】由余弦定理得，所以．故选D．

3．B【解析】，所以B正确．故选B．

4．A【解析】因为，所以或，因为，所以