2025年中考数学复习尖子生专用思维拓展卷（含解析）.docxVIP

2025年中考复习尖子生专用思维拓展卷

1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足为D，点F是线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E，AE与BC交于点H，联结CE．

（1）求证：AHCH

（2）当CE∥AB时，求CE的长；

（3）当△CFH是等腰三角形时，求CH的长．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1＝ax2+3x+c的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．

（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2，已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；

①当点E在二次函数y1的图象上时，求OP的长．

②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值．

3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．

∵sinA=ac，sinB=bc，∴c=a

∵sin90°＝1，∴asinA

拓展探究：

如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asinA

解决问题：

如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．

4．综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．

实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表：

试次

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

下落高度/cm

80

90

100

110

120

反弹高度/cm

40

45

50

56

60

任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式．

解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是?=?0?

任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）．

任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）．

5．【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立．

【深度思考】

小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

6．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．

【探究一】确定心形叶片的形状

（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax2﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，已知图象过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．