专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.pdfVIP

专题30平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1.平面向量数量积的有关概念

向量的夹角：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠＝叫做向

(1)abOabAOBθ(0≤θ≤π)

量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，

记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点，作＝，＝，过点作直线的垂线，垂足为，则

OabMONM1

就是向量a在向量b上的投影向量.

设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为＝

beabθeaθ|a|cosθe.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为向量a，b的夹角.

1122

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝xx＋yy.

1212

(2)模：.

cos＝

(3)夹角：.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔xx＋yy＝0.

1212

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|xx＋yy|≤·.

1212

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

1

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问