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一、公因式最大公因式

1．公因式:f(x)、g(x)P[x],若(x)P[x],

滿足:(x)f(x)且(x)g(x),

則稱(x)為f(x)、g(x)的公因式．

2．最大公因式:f(x)、g(x)P[x],若d(x)P[x]

滿足：

i)d(x)f(x),d(x)g(x);

ii)若(x)P[x]，(x)f(x)且(x)g(x)，則

(x)d(x).

則稱d(x)為f(x)、g(x)的最大公因式．

注：

①f(x)、g(x)的首項係數為1的最大公因式記作:

(f(x)、g(x)).

②f(x)P[x]，f(x)是f(x)與零多項式0的最

大公因式．

③兩個零多項式的最大公因式為0．

若f(x),g(x)不全為零，則(f(x),g(x))0.

④最大公因式不是唯一的，但首項係數為1的最大

公因式是唯一的若、為、

.d1(x)d2(x)f(x)g(x)

的最大公因式，則=，c為非零常數．

d1(x)cd2(x)

二、最大公因式的存在性與求法

引理：若等式f(x)q(x)g(x)r(x)成立，則

f(x)、g(x)與g(x)、r(x)有相同的公因式,從而

(f(x),g(x))(g(x),f(x))．

定理2對f(x)、g(x)P[x]，在P[x]中存在

一個最大公因式d(x)，且d(x)可表成f(x)、g(x)

的一個組合，即u(x)、v(x)P[x]，使

d(x)=u(x)f(x)v．(x)g(x).

證：若f(x)、g(x)有一為0，如g(x)0，則f(x)

就是一個最大公因式．且f(x)1f(x)0g(x).

考慮一般情形：f(x)0,g(x)0,

用g(x)除f(x)得：

f(x)q1(x)g(x)r1(x)

其中或.

(r1(x))(g(x))r1(x)0

若，用除，得：

r1(x)0r1(x)g(x)

g(x)q2(x)r1(x)r2(x)

其中或．

(r2(x))(r1(x))r2(x)0

若，用除，得

r2(x)0r2(x)r1(x)

r1(x)q3(x)r2(x)r3(x),……

如此輾轉下去，顯然，所得餘式的次數不斷降低，

即……

(g(x))(r1(x))(r2(x))

因此，有限次後，必然有餘式為0．設

rs1(x)0.

於是我們有一串等式

f(x)q1(x)g(x)r1(x)

g(x)q2(x)r1(x)r2(x)

r1(x)q3(x)r2(x)r3(x)

………………

ri2(x)qi(x)ri-1(x)ri(x)

………………

rs3(x)qs1(x)rs2(x)rs1(x)

rs2(x)qs(x)rs1(x)rs(x)

rs1(x)qs1(x)rs(x