天津市第一中学2024-2025年高三上学期第三次月考数学试卷（含答案解析）.docx

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天津市第一中学2024-2025年高三上学期第三次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则（????）

A． B． C． D．

3．已知，则（????）

A． B． C． D．3

4．在数列中，若，则（????）

A．1012 B．1013 C．2023 D．2024

5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（????）

A． B．

C． D．

6．已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（????）

A．0 B． C．4 D．

7．已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（????）

A． B．

C． D．

8．已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

9．已知正方体的棱长为是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（????）

A． B．3 C． D．

二、填空题

10．若复数z满足(为虚数单位)，则．

11．二项式的展开式中的系数为．

12．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为.

13．已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为．

14．已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为．

15．已知函数

①若的最大值为，则a的一个取值为．

②记函数的最大值为，则的值域为．

三、解答题

16．已知函数，且.

(1)求的值和的最小正周期；

(2)求在上的单调递增区间.

17．如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.

(1)证明：；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在（2）的条件下，求点D到平面的距离.

18．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数和有相同的最大值，求的值.

19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定.

(1)若，求，，的值；

(2)若，设的前项和为，求；

(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.

20．已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

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《天津市第一中学2024-2025年高三上学期第三次月考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

B

C

C

B

D

C

B

B

D

1．B

【分析】先求解集合，再利用交集运算求解即可.

【详解】因为，，所以，

故选：B．

2．C

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较即可.

【详解】由指数函数单调性可知，，

由对数函数单调性可知，，

所以，所以，

故选：C.

3．C

【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.

【详解】由可得，即，，故.

故选：C.

4．B

【分析】利用递推公式构造数列计算即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以是常数列，所以，

又，所以．

故选：B

5．D

【分析】对A，与相交或平行；对B，与可能相交但不垂直；对C，可推出；对D，可得，结合，得到答案.

【详解】对于A，由，，，则与相交或平行，故A错误；

对于B，由，，，则与可能相交但不垂直，故B错误；

对于C，由，，，则，故C错误；

对于D，由，，则，又，则，故D正确.

故选：D.

6．C

【分析】结合余弦函数性质计算可得，即可得，再将代入计算即可得.

【详解】由，则，

则有，解得，

则，又，则，

故.

故选：C.

7．B

【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求.

【详解】设直线与轴交于点，连接，

因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为，

则，因为是等边三角形，的中点为，

则轴，所以准线为，为矩形，则，

故是边长