直线与平面平面与平面垂直的性质.ppt

第1页，共18页，星期日，2025年，2月5日思考:1.已知直线和平面,如果,那么的位置关系如何?2.设,且那么直线AB与平面的位置关系如何?3.设平面垂直平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线,直线与平面具有什么位置关系?第2页，共18页，星期日，2025年，2月5日线面、面面垂直的性质定理 1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平行)． 2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)． 3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．第3页，共18页，星期日，2025年，2月5日直线与平面垂直的性质定理的简单应用例1：如图1，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.图1第4页，共18页，星期日，2025年，2月5日思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直．证明：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用．第5页，共18页，星期日，2025年，2月5日1－1.已知a、b是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是()BA．若a与b相交，则α与β相交B．若α与β相交，则a与b相交C．若a∥b，则α∥βD．若α⊥β，则a⊥b解析：α与β相交，a与b可能是异面直线．1－2.α、β是两个不同的平面，m、n是α、β之外的两条不同的直线，给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题___________.①③④→②解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．第6页，共18页，星期日，2025年，2月5日图2证明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→线面垂直．平面与平面垂直的性质定理的简单应用例2：如图2，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.第7页，共18页，星期日，2025年，2月5日2－1.如图3，四棱锥V－ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图3证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA?面VAC，∴面VBC⊥面VAC.第8页，共18页，星期日，2025年，2月5日面面垂直的综合应用例3：如图4，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E点，过E作EF⊥SC于F点．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.图4证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE?平面SBC，∴BC⊥AE.第9页，共18页，星期日，2025年，2月5日又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF