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高考理数真题试卷(全国Ⅰ卷)带答案解析

一、选择题（每题5分，共40分）

1.设函数f(x)=\sqrt{1+x^2}，则f(x)在区间[1,1]上的最小值是（）

A.0

B.1

C.\sqrt{2}

D.2

答案：C

解析：函数f(x)=\sqrt{1+x^2}的导数为f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}。令f(x)=0，得x=0。在区间[1,1]内，当x=0时，f(x)取得最小值\sqrt{2}。

2.已知等差数列\{a_n\}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列的通项公式为（）

A.a_n=4n3

B.a_n=4n2

C.a_n=2n+1

D.a_n=2n+3

答案：A

解析：等差数列的前n项和公式为S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}。由S_n=2n^2+n，可得a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n3。

二、填空题（每题5分，共30分）

3.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处取得极值，则a的值为_________。

答案：2

解析：函数的导数为f(x)=3x^23。令f(1)=0，得33a=0，解得a=2。

4.若\sin\alpha=\frac{3}{5}，且\alpha在第二象限，则\cos\alpha=_________。

答案：4/5

解析：在第二象限，\cos\alpha为负。由\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，得\cos\alpha=\sqrt{1\sin^2\alpha}=\frac{4}{5}。

5.若\log_2(x1)=3，则x=_________。

答案：9

解析：\log_2(x1)=3即x1=2^3=8，解得x=9。

三、判断题（每题5分，共20分）

6.若ab，则a^2b^2。（）

A.正确

B.错误

答案：B

解析：若ab，但a和b均为负数，如a=1，b=2，则a^2b^2。

7.函数y=x^33x^2+1在区间(\infty,1)上单调递增。（）

A.正确

B.错误

答案：B

解析：函数的导数为y=3x^26x。在区间(\infty,0)上，y0，函数单调递增；在区间(0,1)上，y0，函数单调递减。

四、解答题（每题20分，共60分）

8.（1）已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间。

答案：

单调递增区间：(\infty,0)和(1,+\infty)

单调递减区间：(0,1)

解析：函数的导数为f(x)=3x^23。令f(x)=0，得x=\pm1。当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0。

（2）已知等差数列\{a_n\}的前n项和为S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式。

答案：

通项公式：a_n=4n3

解析：已知S_n=2n^2+n，则a_n=S_nS_{n1}=(2n^2+n)[2(n1)^2+(n1)]=4n3。

9.已知函数f(x)=\sqrt{1+x^2}，求f(x)在区间[1,1]上的最大值和最小值。

答案：

最大值：f(1)=\sqrt{2}

最小值：f(0)=1

解析：函数f(x)=\sqrt{1+x^2}的导数为f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}。令f(x)=0，得x=0。在区间[1,1]内，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1。比较端点值，得f(1)=\sqrt{2}是最大值。

10.解三角形ABC，其中A=60^\circ，b=4，c=5。

答案：

a=\sqrt{13}

B=53.13^\circ

C=66.87^\circ

解析：根据余弦定理，得a^2=b^2+c^22bc\cosA=4^2+5^22\cdot4\cdot5\cdot