2025年北师大版七年级下册数学期末复习第一章整式的乘除.docxVIP

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第一章整式的乘除

涨知识了

整体思想在同底数幂乘法中的妙用

解决数学问题时,将要解决的问题看成一个整体,通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑得出结论.如:

欲求1+2+22+23+24+…+230的值,可以按照如下步骤进行:

令S=1+2+22+23+24+…+230…①

等式两边同时乘2,得2S=2+22+23+24+…+230+231…②

由②式减去①式,得S=231-1,

所以1+2+22+23+24+…+230=231-1.

素养训练1运算能力、推理能力

请用整体思想,解决下列问题:

(1)求1+5+52+53+54+…+520的值;

(2)求3+2+223+2332+2433+…+

【解析】(1)令S=1+5+52+53+54+…+520…①,等式两边同时乘5,得5S=5+52+53+54+55+…+521…②,

由②式减去①式,得4S=521-1,S=521

所以1+5+52+53+54+…+520=521

(2)令S=3+2+223+2332+24

等式两边同时乘23,得23S=2+223+2332+243

由②式减去①式,得-13S=2

S=9-2m

所以3+2+223+2332+243

涨知识了

巧比幂的大小

底数大于1的数比较大小的两种方法:①比较2a,2b的大小,当ab时,2a2b,所以当同底数时,指数越大值越大;②比较350和275的大小,因为350=(32)25=925,275=(23)25=825,因为98,所以350275.可以将其先化为同指数,再比较大小,所以同指数时,底数越大值越大.

素养训练2运算能力、推理能力

(1)比较大小320915(填“”“”或“=”).?

(2)已知a=355,b=444,c=533,试比较a,b,c的大小.

【解析】(1)915=(32)15=330,

因为2030,所以320915.

答案:

(2)因为a=355=(35)11=24311,

b=444=(44)11=25611,

c=533=(53)11=12511,

因为125243256,

所以125112431125611,

所以cab.

链接生活

科学记数法无处不在

科学记数法在我们日常生活中也有许多应用.例如,计算机科学家在设计电子电路时使用科学记数法将很大的数字转换为人类可读格式.科学记数法还被用于将DNA序列中的遗传物质表示为人们可以处理的数字.此外,它在天文学中被用于记录极端数字(太阳系的距离等)和粒子物理学中极微小粒子的质量、半径、密度等.如某质子的理论预期质量和近似半径范围如下:质量:1.67262163×10-27kg,半径:0.84-0.88fm(1fm=10-15m).

素养训练3数据观念、抽象能力

科学研究发现,与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是

0.00000000000000000000000003kg.

(1)用科学记数法表示此数;

(2)6g水中大约有多少个水分子?

(3)通过进一步研究科学家又发现,一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成.已知一个氧原子的质量约为2.657×10-26kg,求一个氢原子的质量.

【解析】(1)0.00000000000000000000000003=3×10-26;

(2)因为6g=0.006kg,所以6g水中大约有水分子的个数为0.006÷(3×10-26)=2×1023,

答:6g水中大约有2×1023个水分子;

(3)一个氢原子的质量为(3×10-26-2.657×10-26)÷2=1.715×10-27(kg),

答:一个氢原子的质量为1.715×10-27kg.

趣味数学

整式乘法破谜题

从前,一位庄园主把一块长为a米,宽为b米(ab100)的长方形土地租给张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加10米,宽减少10米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积变大了还是变小了?

素养训练4抽象能力、运算能力、应用意识

应用所学整式乘法,解决以上问题:

【解析】由题意可知,原面积为ab平方米,

第二年按照庄园主的想法,则面积变为

(a+10)(b-10)=ab-10a+10b-100

=[ab-10(a-b)-100](平方米),

因为ab,所以ab-10(a-b)-100ab,

所以面积变小了.

答:张老汉的租地面积变小了.

文化体验

杨辉三角与二项式系数的关系

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式