2025年北师大版七年级下册数学期末复习微专题8模型构建 轴对称中的最短路径问题.docxVIP

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微专题8模型构建轴对称中的最短路径问题

模型一“一线两点”型

模型特点

两个定点A,B,点P在直线l上运动,何时PA+PB最小

模型

示例

思路

结论

作点A关于直线l的对称点A,连接AB与直线l交于点P,此时PA+PB最小

针对训练

1.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A,B为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=4,△ABC的面积为10,则BM+MD长度的最小值为(D)

A.52 B.3 C.4 D.

2.(2024·深圳期中)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,E,F两动点分别在线段AD,线段AB上运动,若∠BAC=40°,则当BE+EF取得最小值时,∠BEF的度数为(D)

A.90° B.60° C.50° D.40°

3.(2024·汕头一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,AB=15,AD是∠BAC的平分线,若点P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是?365

模型二“一点两线”型

模型

特点

一个定点C,点P在射线OA上运动,点Q在射线OB上运动,何时△CPQ的周长最小

模型

示例

思路

结论

分别作点C关于射线OA和射线OB的对称点C和C″,连接CC″与射线OA和射线OB交于点P和Q,此时△CPQ的周长最小

针对训练

4.如图,若点P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OA,OB的对称点P1、P2,连接P1P2,交OA于M,交OB于N,△PMN的周长为15cm,则P1P2的长度为(D)

A.5cm B.7.5cm

C.30cm D.15cm

5.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M,N分别是OB,OA边上的点,当△PMN周长的最小值是5cm时,则∠AOB=30°.?

6.如图,在四边形ABCD中,∠C=40°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,求∠EAF的度数.(四边形的内角和等于360°)

【解析】作A关于BC和CD的对称点A,A″,连接AA″,交BC于E,交CD于F,则AA″即为△AEF的周长的最小值.

因为∠C=40°,

所以∠DAB=140°,

所以∠AAE+∠A″=40°,

因为∠EAA=∠EAA,∠FAD=∠A″,

所以∠EAA+∠A″AF=40°,

所以∠EAF=140°-40°=100°.

7.在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,点D、点E分别在AB边和BC边上,且AD=1,BE=1,请在AC边上确定一点M,使得△DEM的周长最小.(保留作图痕迹,不写作法)

【解析】如图,M点即为所求.