专题10 指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.docxVIP

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专题10指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.

1.根式的概念及性质

(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0，记作＝0.

③()n＝a(n∈N*，且n1).

④＝a(n为大于1的奇数).

⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

y＝ax与y＝的图象关于y轴对称

1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.

3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

1．设函数f(x)=2x(x?a)在区间(0,

A．(?∞,?2] B．[?2,0) C．

2．已知函数f(x)=e?(

A．bca B．bac C．cba D．cab

3．已知f(x)

A．?2 B．?1 C．1 D．2

4．已知9m

A．a0b B．ab0 C．ba0 D．b0a

5．设a=0.1e

A．abc B．cba C．cab D．acb

6．下列函数中最小值为4的是（）

A．y=x2+2x+4

C．y=2x+

一、【考点1】指数幂的运算

7．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L=(R+h1)2?R2+(R+h2)2?

（参考数据：2×8.

A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m

8．若f(x)

A．1 B．0 C．?1 D．2

9．下列式子中最小值为4的是（）

A．sin2x+4

C．8+log22x

10．下列说法正确的是（）

A．若x，y∈R且x+y4，则x，

B．?x∈R，x

C．若1a3，2b4，则?22a?b4

D．x2

11．已知函数f(x)=3x,x≥13

12．随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用fx=11+e?x作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足fx+1

①fx是R

②当b=e时，?x∈R，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；

③当a=e?5时，?x≥5，输入

④?a0,?x∈R，输入x会提示“可能出现梯度消失”.

其中所有正确结论的序号是.

反思提升：

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

二、【考点2】指数函数的图象及应用

13．已知f(x)=m?

A．－4 B．0 C．2 D．4

14．已知f(x)=aexe2x?1+b

A．?4 B．?2 C．4 D．6

15．函数y=(kx

A． B．

C． D．

16．下列四个结论中，正确的结论为（）

A．函数f(x)=x与函数g(x)=x

B．若函数f(x)=ax?a(

C．当x∈(1,2)时，关于x的不等式x2+mx+40

D．若函数f(x)=(x+1)2x2