专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.docxVIP

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专题20任意角和弧度制及三角函数的概念-2025年考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝lr(弧长用l

角度与弧度的换算

1°＝π180rad；1rad＝180

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝12lr＝12|α|

3.任意角的三角函数

(1)定义

前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)

定义

正弦

y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y

余弦

x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x

正切

叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝yx(x

三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝yr；cosα＝xr，tanα＝yx

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.

3.象限角

4.轴线角

一、单选题

1．已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω0)在区间(π6,2π3

A．?32 B．?12 C．

2．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当

A．11?332 B．11?432 C．

二、填空题

3．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=

4．若θ∈(0，π2)

5．若点A(cosθ,sinθ)关于y轴对称点为B(cos

6．已知命题p：若α，β为第一象限角，且αβ，则tanαtanβ．能说明p为假命题的一组α，

【考点1】象限角及终边相同的角

三、单选题1

7．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=3x

A．{α|α

C．{α|α

8．集合A={x|??3π2≤x3π2}，

A．4 B．3 C．2 D．1

四、多选题1

9．下列说法正确的是（）

A．“α为第一象限角”是“α2

B．“α=π6+2kπ，k∈Z

C．设M={α|α=kπ±π4,k∈Z}，N={α|α=kπ

D．“sinθ0”是“tan

10．下列说法正确的是（）

A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为2

B．若π2απ

C．已知α为锐角，sinα=35，角β的终边上有一点

D．在?360°～360°范围内，与?410°角终边相同的角是310°和?50°

五、填空题1

11．已知角α,β的终边关于直线y=x对称，且sin(α?β)=12，则α,β的一组取值可以是

12．已知α是第二象限角，且其终边经过点(?3,4)，则tan

反思提升：

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.

(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法

先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.

【考点2】弧度制及其应用

六、单选题2

13．已知集合A={x|?2kπ+π6x2kπ+2π3

A．(2kπ+π4,2kπ+π3)

C．(2kπ+π6,2kπ+π3)

14．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm,AD≈2cm,AO≈5cm，若

A．6.8cm2 B．9.8c

七、多选题2

15．质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线y=3x（x≥0）与圆O的交点处，点A的角速度为1rad/s，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为

A．在2s末时