4.2.3 一元一次方程及其解法-解含绝对值的一元一次方程（5大题型提分练）七年级数学上册（苏科版2024）.docxVIP

4.2.3一元一次方程及其解法

——解含绝对值的一元一次方程

题型一|ax+b|=c

1．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是

A． B． C． D．

【详解】解：关于的方程有两个解，；

只有一个解，；

无解，；

则、、的关系是．

故本题选：．

2．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：．

解：方程可化为：或，

当时，则有，∴；

当时，则有，∴；

综上，方程的解为或．

（1）解方程：；

（2）已知，求的值．

【详解】解：（1）解方程：，

∴或，

解得：或；

∴方程的解为或；

（2）已知，

∴或，

解得：或，

∴或20．

3．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．

解方程：．

解：当时，原方程可化为：，解得：；

当时，原方程可化为：，解得：；

综上，原方程的解是或．

（1）解方程：；

（2）解关于的方程：．

【详解】解：（1）①当时，原方程可化为：，解得：；

②当时，原方程可化为：，解得：；

综上，原方程的解是或；

（2）①当时，原方程无解；

②当时，

原方程可化为：，解得：；

③当时，

当时，原方程可化为：，解得：，

当时，原方程可化为：，解得：．

题型二|ax+b|=|cx+d|

1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．

如：，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程，我们知道，由，可得或．

例解方程：．

我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．

解：根据绝对值的意义，得或．

解这两个一元一次方程，得或．

根据以上材料解决下列问题：

（1）解方程：；

（2）拓展延伸：解方程．

【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或．

解得：或；

（2）由绝对值的意义可得：或．

解得：或．

2．阅读下列材料：

我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，都是含有绝对值的方程．

怎样才能求出含有绝对值的方程的解？

以方程和为例来探求解法．

探究思路：

根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解．

探究结论：

1．解方程．

解：根据绝对值的意义可得：或．

2．解方程．

分析：把看作一个整体．

解：根据绝对值的意义可得：或，

解得：或．

应用材料中的方法解下列方程：

（1）；

（2）．

【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或，

解得：或；

（2）根据绝对值的意义可得：或，

解得：或．

题型三|ax+b|=cx+d

1．关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是．

【详解】解：①当，即，则，

，

此时，则；

②当，即，则，

，

此时，则；

综上，．

故本题答案为：．

2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．

例如：解方程，

解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意；

当时，方程可化为：，解得：，符合题意；

∴原方程的解为或．

请根据上述解法，完成以下问题：

解方程：；

【详解】解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意；

当时，方程可化为：，解：得，符合题意；

∴原方程的解为：或．

3．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：

解方程．

解：当时，原方程可化为：，解得：，符合题意；

当时，原方程可化为：，解得：，符合题意．

∴原方程的解为：或．

根据以上材料解决下列问题：

（1）若，则的取值范围是；

（2）解方程：．

【详解】解：（1）由题意可得：，

，

故本题答案为：；

（2），

①当时，即，得，解得：；

②当时，即，，解得：；

∴原方程的解为或．

题型四|ax+b|±|cx+d|=ex+f

1．解绝对值方程：．

【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）；

当时，原方程化为，解得：（舍去）；

当时，原方程化为，解得：（舍去）；

∴原方程无解．

2．解关于的方程：．

【详解】解：①当时，，解得：；

②当时，，此时；

③当时，，解得：；

综上，当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或．

3．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，

解法一：我们可以运用整体思想来解，

移项得：，，，，或．

解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：

①当时，原方程可化为，解得：，符合；

②当时，原方程可化为，解得：，符合；

原方程的解为或．

解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．

问题：结合上面阅读材料，解下列方程：