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2015高中数学联赛指导

目前同学们应进入数学竞赛2015年4月的备战状态中了，下面

布新一季的政策供同学们参考并且有计划地自行复习。预祝取得好

成绩。

联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的

“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。

一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。

一试考试时间为上午8:00-9：20,共80分钟。试题分填空题

和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题

3道，分别为16分、20分、20分。

加试（二试）考试时间为9:40-12：10,共150分钟。试题为

四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试

题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。

各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥

林匹克（CMO）

o

加试内容：

1、平面几何

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松

定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点一费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点一重心。三角形内到三边距离

之积最大的点一重心。

几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长

一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形

的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合

中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平

面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二

数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代,

简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应

用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方

程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，应包括

无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数,

费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多

面体，欧拉定理。

体积证法。截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一

次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的嘉和根轴。

5、其它

抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅

劳斯定理。托勒密定理。西姆松线的存在性及性质西（姆松定理）。

赛瓦定理及其逆定理。

国际IM0:

考试分两天进行，每天连续进行4.5小时，考3道题目。同一代

表队的6名选手被分配到6个不同的考场，独立答题。答卷由本国领

队评判，然后与组织者指定的协调员协商，如有分歧，再请主试委员

会仲裁。每道题7分，满分为42分。

【推荐】：高中数学竞赛参考书：

一、《金版奥塞