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高数一试题分析、详解和评注

一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横上)

123

X11

(1)曲y=一一的斜渐近方程为y=-x一一.

2x+l24

【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近方程公式进行计算即可.

【详解】因为a=lim四=limf=

E2x+x2

x

b=lim[/(x)-ax\=lim=,

3」f2(2x+l)4

于是所求斜渐近方程为y=

【评注】如何求垂直渐近、水平渐近和斜渐近，是基本要求，应熟练掌握。这

里应注意两点：1)当存在水平渐近时，不需要再求斜渐近；2)若当了―8时，极限

lim/鱼不存在，则应进一步讨论Xf或%——的情形，即在右或左侧是否存

在斜渐近.

完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.1921例7.32】

(2)微分方程孙+2y=xlnx满足)，⑴=一的解为y=

【分析】直接套用一阶性微分方程v+P(x)y=Q(x)的通解公式：

y=[jQ*)JP°)dx+C],

再由初始条件确定任意常数即可.

【详解】原方程等价为

，2,

y+—y=Inx,

x

f2^[~dx1

xx2

于是通解为y=e[jInx-eC]=—-[JxInxdx+C]

X

1,1「1

二-xInx—x+C——9

39x2

由y(l)=-[得C=0,故所求解为y=；xlnx-x

【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也

可如下求解：原方程可化为

22

x/4-2xy=xlnA,即[/川，二/后工，两边积分得

2233

xy=1x\nxdx-xInx——x+C,

39

再代入初始条件即可得所求解为y=工