直线与圆专项训练.docx

直线与圆

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率

例1(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()

A．[0，π) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))

C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))

(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为________．

求直线的方程

例2求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为eq\f(4,5)；

(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；

(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．

直线方程的应用

例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.

(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？

两条直线的位置关系与距离公式

平行与垂直问题

例1(1)(2023·重庆模拟)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0相互平行，则实数m的值是()

A．－4 B．1

C．－1 D．6

(2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

距离公式的应用

例2(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()

A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)

C.eq\f(29,10) D.eq\f(29,5)

(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2)的最小值为________．

共点直线系

例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．

对称问题

例4过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．

例5在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；

(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．

(2)设点C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).

连接AC′交直线l于P1，在直线l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′||AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．

又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，

联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))解得P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).

所以满足条件的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).

例6光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．

圆的方程

求圆的方程

例1(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．

与圆有关的轨迹问题

例2(2024·武汉模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：