空间立体几何解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）.pdfVIP

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))

空间立体几何解答题

一、解答题

1.(浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题)如，在三棱柱

ABC-A心G中，==4,8C=2，AC=2G,AC_18cz4AB=60°.

1

(1)证明：8CJ_平面ACGA;

(2)设点。为CG的中点，求直线4。与平面人8玛4所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵当

【分析】

(1)根据勾股定理逆定理可知8C_LAC，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.

(2)解法1通过作辅助线，找到直线A。与平面所成角，然后根据一角函数的

知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面464A的一个法向量，然后按公式计

算即可.

【详解】

(1)证明：如图，连接AB

AN，所4

由8=A4,,AAB=60。以△明为等边三角形

A4,

因为C=2。8c=2,8=4

所以CA

以+所B_LC,

B_ACCA=,^C面,

又CL,ArCC，ACu平ACQA

所以8C_L平面ACGA.

)图的连，作尸于E

(2解法1：如，设上为B片中点，结4片。石。，AE

因为8DCO面GA

。，平面从。64，E//B,所以E_L平AC，

UG以.

又CC]平面ACA，所OE_LCC

在△ACG中，AC=AG,

。为cq的中点，所以AOLCG，又ADcDE=D,所以CG_L平面4。邑

因为BBJ/CC],所以84J.平面AOE,所以3用_L。尸，

又因为b_LABBCAE=E,B综AEU平面4珥A，所以Z)FJ平面,

所以直线A。与平面4所成角为NDAE.

在AOAE中，A,D1DE,A°=JAC222=2丘,DE=BC=2,

所以AE=JAD，+DE?=25/3,所以sinZ.D\E==~~

因此，直线A。与平面48片A所成角的正弦值为日

解法2：如，以。为原点，以射线C4,CB分别为x,)，轴正半轴，建立空间直角坐标

系。一冷2,

则0(0,0,0),小2技0,0),8(0,2,0)，4(竽,0,平］

因此而唱0,一半、，

\/

AR=(-?A/5,2,O),和=(-竽,0,孚

设平面A网A的法向量为*=a,y,z）,

n-A