2024年天津市中考数学模拟汇编——圆.pdf

2024年天津中考模拟汇编——圆

知识清单：

1、圆的有关概念：

（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A

随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，圆是定点的距

离等于定长的点的集合。

（2）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

弧、优弧、劣弧、等弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆周的圆弧叫做

劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

外接圆、外心：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点

的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这

个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一

半。

内切圆、内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做

三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的

交点。

2、圆的有关性质

（1）定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所

对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相

等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（ⅲ）平分弦所对的一条弧的直径，

垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。90的圆周角所对的弦是圆的直径。

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推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）切线的判定与性质：

判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经

过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。

（5）切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平

分这两条切线的夹角。

（6）圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角；圆外切四边形对边和相等；

（7）弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

（8）和圆有关的比例线段：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相

交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的

比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

（9）两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

3、与圆有关的位置关系

=

（1）点和圆的位置关系：点在圆内；直线与圆相离（）；直线与圆相切（），

这条直线叫做圆的切线；直线与圆相交（），这条直线叫做圆的割线。

（2）圆和圆的位置关系：外离；外切；相交）;

（+（=+（−+

内切（）；内含。

（=−（−

1

4、圆中的计算：==