必威体育精装版北师大版九年级下册数学 第一章 直角三角形的边角关系 教案（最全）.doc

1．1锐角三角函数

第1课时正切与坡度

1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)

2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)

3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)

一、情境导入

观察与思考：

某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶．问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？

问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用∠A的大小来描述，还可以用什么方法？

方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；

1111方法二：在台阶斜坡上另找一点B，测出BC

1111

明台阶的倾斜程度．

你觉得上面的方法正确吗？

二、合作探究

探究点一：正切

【类型一】根据正切的概念求正切值

分别求出图中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．

由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为________．

解析：根据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可．

解：如图①,tan∠A＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(16),12)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(4),3)，tan∠B＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(12),16)＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(3),4)；如图②,BC＝732－552＝48，tan∠A=

4855，5548tan∠B＝

48

55，

55

48

因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数．

方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，根据锐角三角

函数的定义求出对应三角函数值即可．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】在网格中求正切值

已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．

解析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．

解：根据题意可得AC＝BC＝12＋22＝5，CD＝CE＝12＋32＝10，AD＝BE＝5，

∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC=∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),3).

方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数

值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型三】构造直角三角形求三角函数值

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的

值．

解析：设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝22a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可

得答案．

解：如图，过D作DE⊥AB于E.设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝22a.由D为AC中点，得AD＝a.由∠A=∠ABC＝45°,又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴

2a32aDE1DE＝AE＝2.∴BE＝AB－AE＝2，tan∠

2a32aDE1

方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时，

可作辅助线构造直角三角形进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

探究点二：坡度

【类型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)

堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是()

A．1∶3B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2

解析：由勾股定理得AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故选C