专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）.docxVIP

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专题17导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

考试要求：

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

一、单选题

1．函数f(x)=cosx+(x+1)sin

A．?π2，

C．?π2，

2．当x=1时，函数f(x)=aln

A．?1 B．?12 C．1

3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33

A．[18，814] B．[274

二、多选题

4．若函数fx

A．bc0 B．ab0 C．b2+8ac0

5．已知函数f(x)=x

A．f(x)有两个极值点

B．f(x)有三个零点

C．点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心

D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

三、填空题

6．已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax?ex2

【考点1】根据函数图象判断极值

四、单选题

7．已知函数f(x)=(ax+1)e

其中，可以作为函数f(x)的大致图象的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数f(x)=a(sinx+cosx)

A．(0,22e

C．(0,eπ

五、多选题

9．设函数f(x)的定义域为R，x0(x

A．?x∈R，f(x)≥f(x0) B．?

C．?x0是?f(x)的极小值点 D．?x

10．已知函数f(x)的导函数为f

A．f

B．f

C．f(

D．与f(

六、填空题

11．已知函数f(x)=ax3+bx2

①当x=3

②f(x)有两个极值点；

③当x=2时函数取得极小值；

④当x=1时函数取得极大值．

12．已知函数f(x)的定义域为[?1,

x

?1

0

2

4

5

f(x)

3

1

2.5

1

3

f(x)的导函数f

①f(x)在区间[?1,

②f(x)有2个极大值点；

③f(x)的值域为[1,

④如果x∈[t,5]时，f(x)的最小值是1，那么

其中，所有正确结论的序号是．

反思提升：

由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

【考点2】求已知函数的极值

七、单选题

13．已知x表示不超过x的最大整数，若x=t为函数f(x)=x?1ex

A．2ee?1 B．3e2e2?1

14．设函数f(x)=x?2x?3lnx，记f(x)的极小值点为x1，极大值点为

A．2 B．2ln2 C．3ln2 D．?3ln2

八、多选题

15．若函数fx

A．fx的图象关于0,0对称 B．fx在

C．fx的极小值点为22 D．

16．已知函数f(x)

A．当a=1时，f(x)在

B．若f(x)有3个零点，则

C．当a=e2时，x=1是

D．当a=12时，f(x

九、填空题

17．f(x)=x2e

18．f(x)=cosxcos2x在

反思提升：

运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)解方程f′(x)＝