用于高二数学教案：8．4双曲线的简单几何性质.pdfVIP

【课题】双曲线的简单几何性质1（）

【教学目标】

1、能用对比的方法分析双曲线的几何性质范（围、对称性、点、渐近线和离心率）.

2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响，领会双曲线与渐近线的关系.

3、明确标准方程中、、的几何意义.

4、了解等轴双曲线的概念和特征.

5、能运用双曲线发几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程.

【教学重点】双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.

【教学难点】双曲线的渐近线

【教学过程】

1.复习引入

复习回顾椭圆的几何性质及其研究方法

2.讲解新课

我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质。

对于双曲线。（＞0力＞0）的几何性质

（一）范围，昨a,即X》,后-a

由标准方程可知与一个非负数的差等于1,所以1,由此推得x的范围.

y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于应a与烂-a的区域内.

二（）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原

点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

讨论方法是以-y代y,方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x,方程不变，所以

双曲线关于y轴对称；同时以-y代y,以-MU,方程不变，所以双曲线关于原点对称.

三（）点：只有两个，即（±。,0）.

讨论方法是令产0,得k士凡因此双曲线和它的一条对称轴一%轴有两个交点

A（-a,0）,Aa（,0）,所以双曲线的点是（±«,0）.

2

令x=0时，解得），2=-按,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴一），轴没有交点，

故双曲线点只有两个.

注意：双曲线30力0）与y轴没有交点，但我们也把Bi0（,

b）,B0（,b）画在y轴上.

2

线段4A2叫做双曲线的实轴，线段5B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2

b,。是实半轴的长，。是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.

（四）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.e=且e《（l,+

00）,这是因为ca0.

（五）渐近线：经过4、Ai作），轴的平行线kta,经过员、3作x轴的平行线尸±6,这四

条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线的方程是产±x,从图中可以看出，

双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.

证明：

先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成产x（a）

设Mx（,y）是它上面的点，Nx（,y）是直线产x上与“有相同横坐标的点，则产x

.y==

/.|M7V|=Y-y=

\MN\=

/.\MN]=

设|MQ|是点M到直线产x的距离，则|MQ||MN|,当x逐渐增大时，皿朗逐渐小，x

无限增大，|MN|接近于0,|MQ|也接近于0,就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下

方逐渐接近于OM

在其他象限内，也可以证明类似的情况.

我们把两条直线产士x叫做双曲线的渐近线.

【注1】等轴双曲线

在方程中，如果a=b,那么双曲线的方程为¥-

丁=比它的实轴和虚轴的长都等于2〃，这时四条直线户±a,产〃围成正方形.渐近线方程为广

母，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，