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平面法向量与立体几何
引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。
二、平面法向量的应用
求空间角
(1)、求线面角：如图4-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，那么AB与平面所成的角为：
例3、在例2中，求直线与平面所成的角。
解析：由例2知，，，，即
(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，那么二面角的平面角为：
〔图5-1〕;(图5-2)
图4-1αB
图4-1
α
B
A
C
A
B
α
图4-2
C
β
α
图5-1
α
图5-2
β
两个平面的法向量方向选取适宜,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图5-2中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积〔简称“外积”，满足“右手定那么”〕使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，那么这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
例4、在例2中，求二面角的大小。
解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，
图6nabAB
图6
n
a
b
A
B
，得。
求空间距离
〔1〕、异面直线之间距离:
方法指导：如图6,①作直线a、b的方向向量、，
ABOn图7求a、b的法向量，即此异面直线a
A
B
O
n
图7
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；
③求向量在上的射影d，那么异面直线a、b间的距离为
,其中
〔2〕、点到平面的距离:
方法指导：如图7,假设点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为，那么点P到平面α的距离公式为：
例5、在例2中，求点到平面的距离。
解析：由例2的解答知，平面的单位法向量，
又，设点到平面的距离为，那么
AaBα图8。所以，点到平面的距离为。
A
a
B
α
图8
〔3〕、直线与平面间的距离:
方法指导：如图8,直线与平面之间的距离：
图9αβAB，其中。是平面的法向量
图9
α
β
A
B
〔4〕、平面与平面间的距离:
方法指导：如图9,两平行平面之间的距离：
图10αa，其中。是平面、的法向量。
图10
α
a
证明
图11αa〔1〕、证明线面垂直：在图10中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线〔〕。
图11
α
a
〔2〕、证明线面平行：在图11中,向是平面的法向量，
是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直〔〕。
图12βα〔3〕、证明面面垂直：在图12中，是平面的法向量，
图12
β
α
是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直〔〕
〔4〕、证明面面平行：在图13中,向是平面的法向量，
是平面的法向量，证明两平面的法向量共线〔〕。
图13α
图13
α
β
例6、〔湖南理第17题〕如图14所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD
是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
PA＝2.〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB;
〔Ⅱ〕求平面PAD和平面PBE所成二面角〔锐角〕的大小.
图14解：如下图，以A为原点，建立空间直角坐标系.那么相关各点的坐标分别是A〔0，0，0〕，B〔1，0，0〕，P〔0，0，2〕,
图14
〔Ⅰ〕因为平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)易知
设是平面PBE的一个法向量，那么由得：
所以
设是平面PAD的一个法向量，那么由得：
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角〔锐角〕的大小是
点评：此题采用常规方法〔即综合法〕求这个二面角的平面角比拟困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题
ABCDEA1B1C1D1yxz图14例7、〔全国卷Ⅱ理科第19题)如图14，正四棱柱
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
图14
〔Ⅱ〕求二面角的
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